Objectifs d'apprentissage
- Établir la table de vérité d'une fonction logique à partir d'un cahier des charges
- Utiliser les opérateurs de base (ET, OU, NON) et universels (NAND, NOR) et tracer leurs symboles normalisés
- Appliquer les théorèmes de l'algèbre de Boole (commutativité, associativité, distributivité, absorption, lois de De Morgan) pour transformer une expression logique
- Construire un tableau de Karnaugh à 2, 3 ou 4 variables et y placer les valeurs d'une table de vérité
- Simplifier une fonction logique par regroupement de cases adjacentes (1, 2, 4, 8 cases) dans un Karnaugh, y compris avec des cases indéterminées
- Passer de l'équation logique simplifiée au logigramme (schéma à portes logiques)
- Reconnaître les fonctions combinatoires usuelles : multiplexeur, décodeur, additionneur, comparateur
Formules et résultats clés
Opérateurs de base et universels
Un système combinatoire est un circuit dont chaque sortie ne dépend que des entrées présentes à l'instant considéré, sans aucune mémoire de l'état passé. Les trois opérateurs de base sont ET (produit logique, noté ·), OU (somme logique, noté +) et NON (complément, noté avec une barre au-dessus). Les opérateurs NAND (NON-ET) et NOR(NON-OU) sont dits universels : n'importe quelle fonction logique peut être réalisée en n'utilisant qu'un seul de ces deux opérateurs.
Théorèmes de l'algèbre de Boole
Commutativité : A·B = B·A, A+B = B+A.
Distributivité : A·(B+C) = A·B + A·C.
Absorption : A + A·B = A, et A·(A+B) = A.
Complémentarité : A + NON(A) = 1, et A·NON(A) = 0.
Lois de De Morgan : NON(A·B) = NON(A) + NON(B), et NON(A+B) = NON(A)·NON(B).
Tableau de Karnaugh
Le tableau de Karnaugh range les 2ⁿ combinaisons de n variables dans une grille où deux cases adjacentes (y compris sur les bords opposés, le tableau étant cyclique) ne diffèrent que par la valeur d'une seule variable — les entêtes de ligne et de colonne suivent l'ordre du code Gray (00, 01, 11, 10) et non l'ordre binaire naturel. On y reporte 1 dans chaque case où la fonction vaut 1, puis on regroupe les 1 adjacents par blocs de taille une puissance de 2 (1, 2, 4, 8 cases), en cherchant systématiquement les plus grandsgroupements possibles. Chaque groupement élimine la ou les variables qui changent de valeur à l'intérieur du bloc ; l'équation simplifiée est la somme des termes restants pour chaque groupement retenu.
Fonctions combinatoires usuelles
- Multiplexeur : sélectionne une des 2ⁿ entrées de données vers une sortie unique, selon un code de sélection à n bits.
- Décodeur : active une seule sortie parmi 2ⁿ selon un code d'entrée à n bits — fonction inverse du multiplexeur.
- Additionneur : le demi-additionneur combine 2 bits (somme et retenue) ; l'additionneur complet ajoute en plus une retenue entrante.
- Comparateur : compare deux nombres binaires et produit trois sorties possibles (égal, supérieur, inférieur).
Erreurs fréquentes
Oublier qu'un regroupement dans un Karnaugh doit toujours contenir une puissance de 2 cases (1, 2, 4, 8...) — un groupe de 3 cases n'a aucun sens et ne simplifie rien.
Mal appliquer les lois de De Morgan : NON(A·B) = NON(A) + NON(B), et NON(A+B) = NON(A)·NON(B) — inverser un produit donne une somme des compléments, pas un produit des compléments.
Oublier l'ordre du code Gray sur les bords d'un tableau de Karnaugh (00, 01, 11, 10, pas 00, 01, 10, 11) : sans cet ordre, les cases adjacentes physiquement ne correspondent plus à une seule variable qui change.
Ne pas vérifier le caractère cyclique du tableau : les cases des bords opposés (première et dernière colonne, première et dernière ligne) sont adjacentes et peuvent former un groupement.
Chercher le plus petit nombre de groupements plutôt que les plus grands groupements possibles : un Karnaugh minimal privilégie toujours les groupes les plus grands, quitte à ce qu'ils se chevauchent.
Confondre un multiplexeur (sélectionne une entrée parmi plusieurs vers une seule sortie) et un décodeur (active une seule sortie parmi plusieurs selon un code d'entrée) — ce sont des fonctions inverses l'une de l'autre.
Exemple corrigé — Détecteur de niveau
Énoncé
Un réservoir possède deux capteurs de niveau : a (capteur bas, actif si le niveau est au-dessus du bas) et b(capteur haut, actif si le niveau est au-dessus du haut). Une alarme S doit s'activer uniquement lorsque le niveau est entre les deux capteurs (a actif, b non actif) OU lorsque les deux capteurs sont défaillants et indiquent tous deux 0 alors que le réservoir est en fait plein (cas à traiter comme S=1 également, noté X car improbable en fonctionnement normal). Établir la table de vérité, le Karnaugh, et simplifier S.
Correction
Table de vérité sur (a, b) : (0,0)→X (cas indéterminé signalé dans l'énoncé), (0,1)→0 (impossible physiquement mais si câblé, pas d'alarme), (1,0)→1 (niveau intermédiaire, alarme), (1,1)→0 (réservoir plein, pas d'alarme).
Dans le Karnaugh à 2 variables, la case (a=1, b=0) contient 1, la case (a=0, b=0) contient X. Le X est adjacent à la case à 1 (elles ne diffèrent que par la variable a) : on peut regrouper ces deux cases pour éliminer a. Ce groupement donne S = NON(b).
Équation simplifiée : S = NON(b). Le circuit ne nécessite finalement qu'un inverseur sur le capteur haut — le capteur bas n'intervient plus dans le logigramme final.
3 exercices pour t'entraîner
Exercice 1
FacileÉcrire la table de vérité de la fonction S = A·B + NON(A)·C pour les entrées A, B, C, puis donner la valeur de S pour A=1, B=0, C=1.
Voir la correction
Pour A=1, B=0, C=1 : A·B = 1·0 = 0, et NON(A)·C = 0·1 = 0. Donc S = 0 + 0 = 0. La table complète comporte 8 lignes (2³ combinaisons) ; S vaut 1 chaque fois que A=1 ET B=1 (indépendamment de C), ou chaque fois que A=0 ET C=1 (indépendamment de B).
Exercice 2
MoyenSimplifier l'expression S = A·B + A·NON(B) à l'aide des théorèmes de l'algèbre de Boole (sans Karnaugh).
Voir la correction
S = A·B + A·NON(B) = A·(B + NON(B)) [distributivité, mise en facteur de A] = A·1 [complémentarité : B + NON(B) = 1] = A. La fonction ne dépend en réalité que de A ; B n'a aucune influence sur la sortie.
Exercice 3
DifficileUne fonction de 3 variables A, B, C vaut 1 pour les combinaisons suivantes (dans l'ordre ABC) : 001, 011, 101, 111, et vaut 0 partout ailleurs. Construire le tableau de Karnaugh et donner l'équation simplifiée.
Voir la correction
Les 4 combinaisons à 1 sont celles où C=1, quelles que soient A et B (001, 011, 101, 111 ont toutes C=1 ; les 4 autres combinaisons, où C=0, valent 0). Dans le Karnaugh (A en ligne sur {0,1}, BC en colonne sur {00,01,11,10}), les 4 cases où C=1 forment un unique groupement de 4 cases adjacentes (colonnes BC=01 et BC=11, pour A=0 et A=1). Ce groupement élimine A et B : l'équation simplifiée est S = C.
3 exercices, c'est un début.
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Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un système combinatoire, par opposition à un système séquentiel ?
Un système combinatoire est un circuit logique dont les sorties ne dépendent que des entrées présentes à un instant donné, sans aucune mémoire de l'état passé. Un système séquentiel, lui, possède une mémoire (bascules) et ses sorties dépendent aussi de son état interne — c'est l'objet du chapitre suivant.
Pourquoi utiliser un tableau de Karnaugh plutôt que l'algèbre de Boole directement ?
Le tableau de Karnaugh organise géométriquement les combinaisons d'entrées de sorte que les cases adjacentes ne diffèrent que d'une variable. Cela rend le regroupement des 1 (donc la simplification) visuel et systématique, alors que la simplification algébrique demande de deviner quelle identité de Boole appliquer à chaque étape.
Que faire des cases indéterminées (« don't care », notées X) dans un Karnaugh ?
Une case X correspond à une combinaison d'entrées qui ne se produit jamais en pratique (ou dont la valeur de sortie n'a pas d'importance). On peut l'inclure dans un groupement de 1 si cela l'agrandit et simplifie l'équation, ou l'ignorer si elle n'aide pas — le choix se fait au cas par cas pour obtenir le groupement le plus grand possible.