Cinématique du Solide — Cours (Bac SMB)

Objectifs d'apprentissage

Distinguer les mouvements de translation (rectiligne, circulaire, quelconque) et de rotation autour d'un axe fixe
Définir le vecteur rotation instantané d'un solide et son lien avec la vitesse angulaire
Appliquer la relation de Varignon (champ des vecteurs vitesse) pour calculer la vitesse d'un point d'un solide
Décrire le mouvement plan sur plan et localiser le centre instantané de rotation (CIR)
Distinguer trajectoire, vitesse et accélération d'un point, et utiliser les unités adaptées (rad/s, m/s, m/s²)
Relier vitesse angulaire et fréquence de rotation (tr/min) pour l'étude des mécanismes tournants

Formules et résultats clés

Translation et rotation

En translation, tous les points d'un solide ont, à chaque instant, le même vecteur vitesse (la trajectoire d'un point est l'image de celle d'un autre par translation). En rotation autour d'un axe fixe, chaque point décrit un cercle centré sur l'axe, avec une vitesse angulaire commune ω identique pour tout le solide, mais une vitesse linéaire qui dépend de la distance à l'axe.

Vitesse angulaire et vitesse linéaire

V = \omega \times r \quad ; \quad \omega = \dfrac{2\pi N}{60}

Avec V la vitesse linéaire (m/s), ω la vitesse angulaire (rad/s), r le rayon de rotation (m), et N la fréquence de rotation en tours par minute (tr/min).

Relation de Varignon (champ des vecteurs vitesse)

\vec{V}_B = \vec{V}_A + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB}

Cette relation relie les vitesses de deux points A et B d'un même solide indéformable, avec Ω le vecteur rotation instantané du solide. En mouvement plan sur plan, il existe à chaque instant un point particulier — le centre instantané de rotation (CIR) — dont la vitesse est nulle, ce qui simplifie considérablement la construction graphique des vitesses des autres points.

Erreurs fréquentes

Confondre vitesse linéaire (m/s) et vitesse angulaire (rad/s) : elles ne sont égales que multipliées par le rayon de la trajectoire circulaire, et ne se comparent jamais directement.

Croire qu'en rotation autour d'un axe fixe, tous les points du solide ont la même vitesse : seule la vitesse angulaire est commune à tout le solide, la vitesse linéaire dépend de la distance à l'axe.

Oublier d'appliquer la relation de Varignon lors d'un changement de point pour le champ des vitesses, et supposer à tort que deux points d'un même solide ont la même vitesse en mouvement quelconque.

Confondre le centre instantané de rotation (CIR), qui change de position à chaque instant, avec un centre de rotation fixe : le CIR n'a une vitesse nulle qu'à l'instant considéré.

Oublier la conversion entre tr/min et rad/s ( $\omega = \dfrac{2\pi N}{60}$ ) lors des calculs impliquant une fréquence de rotation donnée en tr/min.

Exemple corrigé — Vitesse en rotation

Énoncé

Une poulie de rayon $r = 0{,}1\ \text{m}$ tourne à la fréquence $N = 300\ \text{tr/min}$ autour de son axe fixe. Calculer la vitesse linéaire d'un point situé sur la périphérie de la poulie.

Correction

On calcule d'abord la vitesse angulaire : $\omega = \dfrac{2\pi N}{60} = \dfrac{2\pi \times 300}{60} = 10\pi \approx 31{,}4\ \text{rad/s}$ .

La vitesse linéaire d'un point périphérique est alors $V = \omega \times r = 31{,}4 \times 0{,}1 \approx 3{,}14\ \text{m/s}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un moteur tourne à une fréquence de rotation $N = 1200\ \text{tr/min}$ . Calculer sa vitesse angulaire $\omega$ en rad/s.

Voir la correction

$\omega = \dfrac{2\pi N}{60} = \dfrac{2\pi \times 1200}{60} = 40\pi \approx 125{,}7\ \text{rad/s}$ .

Exercice 2

Moyen

Un disque tourne autour de son axe fixe à la vitesse angulaire $\omega = 10\ \text{rad/s}$ . Calculer la norme de la vitesse d'un point M situé à $r = 0{,}15\ \text{m}$ de l'axe.

Voir la correction

En rotation autour d'un axe fixe, $V_M = \omega \times r = 10 \times 0{,}15 = 1{,}5\ \text{m/s}$ .

Exercice 3

Difficile

Deux points A et B appartiennent à un même solide en mouvement plan. La vitesse de A vaut $\vec{V}_A = 2\ \text{m/s}$ (horizontale), le vecteur rotation instantané du solide est $\vec{\Omega} = 4\ \text{rad/s}$ (perpendiculaire au plan) et $\vec{AB}$ a pour norme $0{,}3\ \text{m}$ , perpendiculaire à $\vec{V}_A$ . Calculer la norme de $\vec{V}_B$ donnée par la relation de Varignon $\vec{V}_B = \vec{V}_A + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB}$ .

Voir la correction

Le terme additionnel a pour norme $\|\vec{\Omega} \wedge \vec{AB}\| = \Omega \times AB = 4 \times 0{,}3 = 1{,}2\ \text{m/s}$ (car $\vec{\Omega}$ et $\vec{AB}$ sont perpendiculaires). Comme ce terme est colinéaire à $\vec{V}_A$ dans cette configuration, $V_B = V_A + 1{,}2 = 2 + 1{,}2 = 3{,}2\ \text{m/s}$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre translation et rotation d'un solide ?

En translation, tous les points du solide ont, à chaque instant, le même vecteur vitesse (et la même trajectoire, translatée) : le solide ne tourne pas sur lui-même. En rotation autour d'un axe fixe, tous les points du solide (sauf ceux situés sur l'axe) décrivent des cercles, et leur vitesse dépend de leur distance à l'axe : elle est d'autant plus grande que le point est éloigné de l'axe, pour une même vitesse angulaire.

À quoi sert la relation de Varignon (champ des vecteurs vitesse) ?

La relation de Varignon relie les vitesses de deux points A et B appartenant à un même solide indéformable en mouvement : elle permet de calculer la vitesse d'un point du solide à partir de la vitesse d'un autre point et du vecteur rotation instantané, sans devoir dériver directement chaque position — un outil indispensable pour l'étude des mécanismes.

Qu'est-ce qu'un mouvement plan sur plan ?

Un mouvement plan sur plan est un mouvement dans lequel tous les points d'un solide se déplacent dans des plans parallèles à un même plan de référence : la trajectoire de chaque point reste dans un plan fixe, ce qui permet de ramener l'étude 3D du mouvement à une étude 2D, avec un centre instantané de rotation (CIR) qui simplifie la construction des vitesses.