Systèmes Mécaniques Oscillants — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Objectifs d'apprentissage

Établir l'équation différentielle du mouvement d'un pendule élastique horizontal à partir de la loi de Hooke et de la 2e loi de Newton
Reconnaître la solution sinusoïdale de cette équation différentielle et identifier la pulsation propre
Exprimer la période propre d'un pendule élastique en fonction de la masse et de la raideur du ressort
Exprimer la période propre d'un pendule de torsion en fonction du moment d'inertie et de la constante de torsion
Exprimer la période propre d'un pendule simple en petites oscillations en fonction de sa longueur
Reconnaître l'analogie formelle entre un oscillateur mécanique libre et un circuit RLC libre non amorti

Formules et résultats clés

Pendule élastique horizontal

Une masse m, fixée à un ressort de raideur k, glisse sans frottement sur un plan horizontal. La force de rappel du ressort obéit à la loi de Hooke, $F = -kx$ (x = élongation par rapport à la position d'équilibre). D'après la 2e loi de Newton, $m\ddot{x} = -kx$ , d'où l'équation différentielle :

$\ddot{x} + \dfrac{k}{m}x = 0$

Solution sinusoïdale : $x(t) = X_m\cos(\omega_0 t + \varphi)$ , avec $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ la pulsation propre. La période propre correspondante vaut :

$T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

Pendule de torsion

Un solide suspendu à un fil de torsion, écarté d'un angle θ, subit un couple de rappel $-C\theta$ (C = constante de torsion du fil, en N·m/rad). L'équation différentielle est $\ddot\theta + \dfrac{C}{J}\theta = 0$ , de période propre :

$T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{J}{C}}$

Pendule simple (petites oscillations)

$T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

Valable pour de petites amplitudes (approximation $\sin\theta \approx \theta$ ). Ne dépend ni de la masse du pendule, ni de l'amplitude.

Ces trois équations ont exactement la même forme mathématique que celle du circuit RLC libre non amorti déjà étudié ( $\ddot{q} + \dfrac{q}{LC} = 0$ ) : une analogie formelle entre oscillateur mécanique et oscillateur électrique.

Erreurs fréquentes

Croire que la période propre dépend de l'amplitude des oscillations : dans l'approximation linéaire, elle n'en dépend pas, c'est la propriété d'isochronisme.

Oublier le signe négatif dans la loi de Hooke : une force de rappel opposée au déplacement, sinon l'équation différentielle ne décrit plus un mouvement oscillatoire.

Utiliser la formule du pendule simple pour de grandes amplitudes, alors qu'elle n'est valable que dans l'approximation des petites oscillations.

Confondre la pulsation propre ω0 (en rad/s) avec la fréquence propre f0 (en Hz) : elles sont liées par ω0 = 2πf0.

Penser que la période du pendule simple dépend de la masse suspendue : elle ne dépend que de la longueur du fil et de g.

Exemple corrigé — Pendule élastique lâché sans vitesse initiale

Énoncé

Un pendule élastique horizontal sans frottement est constitué d'une masse $m = 250\ \text{g}$ fixée à un ressort de raideur $k = 10\ \text{N/m}$ . 1) Calculer la pulsation propre $\omega_0$ et la période propre $T_0$ . 2) La masse est écartée de $X_m = 4{,}0\ \text{cm}$ de sa position d'équilibre puis lâchée sans vitesse initiale : écrire x(t). 3) Calculer la vitesse maximale atteinte par la masse au cours du mouvement.

Correction

1) $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{10/0{,}250} = \sqrt{40} \approx 6{,}3\ \text{rad/s}$ . $T_0 = 2\pi/\omega_0 \approx 0{,}99\ \text{s}$ .

2) Lâchée sans vitesse initiale à l'élongation maximale, la phase est nulle : $x(t) = X_m\cos(\omega_0 t) = 4{,}0\cos(6{,}3\,t)$ (x en cm, t en secondes).

3) La vitesse maximale est atteinte au passage par l'équilibre : $v_{max} = X_m\,\omega_0 = 0{,}040\times 6{,}3 \approx 0{,}25\ \text{m/s}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un pendule élastique horizontal, sans frottement, est constitué d'une masse $m = 0{,}40\ \text{kg}$ fixée à un ressort de raideur $k = 10\ \text{N/m}$ . Calculer sa période propre $T_0$ .

Voir la correction

$T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}40}{10}} = 2\pi\sqrt{0{,}040} = 2\pi\times 0{,}200 \approx 1{,}3\ \text{s}$ .

Exercice 2

Moyen

Un pendule de torsion est constitué d'un fil de constante de torsion $C = 0{,}20\ \text{N·m/rad}$ et d'un solide de moment d'inertie $J = 2{,}0\times 10^{-3}\ \text{kg·m}^2$ . Calculer sa période propre $T_0$ et sa fréquence propre $f_0$ .

Voir la correction

$T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{J}{C}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{2{,}0\times 10^{-3}}{0{,}20}} = 2\pi\sqrt{0{,}010} = 2\pi\times 0{,}100 \approx 0{,}63\ \text{s}$ . $f_0 = \dfrac{1}{T_0} \approx 1{,}6\ \text{Hz}$ .

Exercice 3

Difficile

Un pendule simple de longueur $L = 1{,}00\ \text{m}$ oscille avec une faible amplitude au voisinage de la surface terrestre ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ). 1) Calculer sa période propre $T_0$ . 2) Par quel facteur la période serait-elle multipliée si la longueur était quadruplée ( $L' = 4L$ ) ? Justifier sans tout recalculer. 3) Un élève chronomètre 10 oscillations et mesure une durée totale de 20,1 s. En déduire la valeur expérimentale de g et la comparer à 9,8 m/s².

Voir la correction

1) $T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{1{,}00}{9{,}8}} = 2\pi\sqrt{0{,}102} \approx 2\pi\times 0{,}319 \approx 2{,}0\ \text{s}$ . 2) $T_0$ est proportionnelle à $\sqrt{L}$ , donc si L est multipliée par 4, $T_0$ est multipliée par $\sqrt{4} = 2$ : la nouvelle période vaut environ 4,0 s. 3) $T_{exp} = \dfrac{20{,}1}{10} = 2{,}01\ \text{s}$ . $g_{exp} = \dfrac{4\pi^2 L}{T_{exp}^2} = \dfrac{4\pi^2\times 1{,}00}{(2{,}01)^2} = \dfrac{39{,}5}{4{,}04} \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2$ : très proche de la valeur théorique.

3 exercices, c'est un début.

Orka en génère autant que tu veux sur ce chapitre, à ton niveau, avec correction détaillée étape par étape.

Continue gratuitement sur Orka

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l'IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s'ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d'annales sur ce chapitre

Sujets d'examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

La période propre d'un pendule élastique dépend-elle de l'amplitude des oscillations ?

Non. Dans le cadre de la loi de Hooke, la période propre ne dépend que de la masse et de la raideur du ressort, pas de l'amplitude : c'est la propriété d'isochronisme des oscillations.

Pourquoi la formule de la période du pendule simple n'est-elle valable que pour de petites oscillations ?

Elle est obtenue en linéarisant l'équation différentielle du mouvement grâce à l'approximation sinθ ≈ θ, valable uniquement pour un angle θ petit (exprimé en radians). Pour des amplitudes plus grandes, cette approximation n'est plus valide.

Quel est le point commun entre un pendule élastique et un circuit RLC libre non amorti ?

Les deux systèmes obéissent à la même forme d'équation différentielle, donc à la même solution sinusoïdale de pulsation propre ω0 : c'est une analogie formelle entre une grandeur mécanique et une grandeur électrique.