Oscillations Libres d'un Circuit RLC Série — Cours, Exercices (Bac SMA)

Q: Qu'est-ce que la période propre T₀ d'un circuit LC ?

T₀ = 2π√(LC) est la période des oscillations dans le cas idéal où la résistance du circuit est nulle (aucun amortissement). C'est une caractéristique du circuit (L et C), indépendante de l'amplitude initiale.

Q: Quelle est la différence entre régime pseudo-périodique et régime apériodique ?

En régime pseudo-périodique (R faible, inférieure à la résistance critique), la tension uC(t) oscille avec une amplitude qui décroît progressivement. En régime apériodique (R grande), uC(t) retourne directement vers zéro sans aucune oscillation.

Q: Pourquoi l'amplitude des oscillations diminue-t-elle au cours du temps dans un circuit RLC réel ?

Dès que la résistance R du circuit est non nulle, une partie de l'énergie totale (électrique + magnétique) est dissipée par effet Joule dans R à chaque cycle. L'énergie totale du circuit diminue donc progressivement, ce qui se traduit par une amplitude d'oscillation décroissante.

Objectifs d'apprentissage

Établir l'équation différentielle du second ordre vérifiée par uC(t) lors de la décharge oscillante d'un condensateur dans une bobine
Distinguer les régimes d'oscillation : périodique non amorti (cas idéal R = 0), pseudo-périodique (R faible) et apériodique (R grande)
Définir la période propre T₀ = 2π√(LC) (formule de Thomson) et la pseudo-période T
Comparer la résistance R à la résistance critique Rc = 2√(L/C) pour identifier le régime observé
Décrire l'échange d'énergie entre le condensateur (énergie électrique) et la bobine (énergie magnétique) au cours des oscillations
Expliquer la décroissance de l'amplitude des oscillations par dissipation d'énergie par effet Joule dans R
Exploiter un oscillogramme uC(t) pour identifier le régime et mesurer la pseudo-période

Formules et résultats clés

Équation différentielle

On décharge un condensateur de capacité C, initialement chargé, dans une bobine d'inductance L et de résistance totale R (bobine + circuit). La loi des mailles donne l'équation différentielle du second ordre vérifiée par $u_C(t)$ :

$LC\dfrac{d^2u_C}{dt^2} + RC\dfrac{du_C}{dt} + u_C = 0$

Les trois régimes

Régime périodique (cas idéal, R = 0)

Oscillations non amorties, d'amplitude constante : $u_C(t) = U_m\cos\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)$ .

Régime pseudo-périodique (R faible)

Oscillations amorties : uC(t) oscille à une pseudo-période T très proche de T₀, avec une amplitude qui décroît progressivement.

Régime apériodique (R grande)

Aucune oscillation : uC(t) retourne directement et lentement vers zéro.

Formule de Thomson et résistance critique

$T_0 = 2\pi\sqrt{LC} \qquad R_c = 2\sqrt{\dfrac{L}{C}}$

Pour un amortissement faible, la pseudo-période mesurée vérifie $T \approx T_0$ . Le régime est pseudo-périodique si $R < R_c$ , apériodique si $R > R_c$ (et apériodique critique si $R = R_c$ , cas limite).

Erreurs fréquentes

Croire que la pseudo-période dépend fortement de R — pour un amortissement faible, T ≈ T₀ = 2π√(LC) reste quasiment indépendante de la résistance.

Confondre régime pseudo-périodique et régime apériodique — le premier présente des oscillations amorties, le second ne présente aucune oscillation (retour direct vers zéro).

Oublier que l'énergie totale (électrique + magnétique) ne se conserve que dans le cas idéal R = 0 — dès que R ≠ 0, elle diminue par effet Joule à chaque cycle.

Se tromper dans l'équation différentielle en oubliant le terme d'amortissement RC(duC/dt), ou en intervertissant les coefficients devant uC et uC″.

Confondre la période propre T₀ (cas non amorti, R = 0) avec la pseudo-période T (cas réel, très légèrement supérieure à T₀).

Exemple corrigé — Décharge oscillante

Énoncé

Un condensateur de capacité $C = 4\ \mu\text{F}$ , initialement chargé sous une tension $U_0 = 6\ \text{V}$ , est déchargé dans une bobine d'inductance $L = 0{,}25\ \text{H}$ de résistance négligeable ( $R \approx 0$ ). 1) Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ . 2) Calculer la période propre $T_0$ . 3) Calculer l'énergie totale initialement stockée, puis en déduire l'intensité maximale $I_m$ du courant (l'énergie totale se conserve car $R \approx 0$ ).

Correction

1) Sans résistance, la loi des mailles donne $u_C + u_L = 0$ avec $u_L = L\dfrac{di}{dt}$ et $i = C\dfrac{du_C}{dt}$ , d'où $LC\dfrac{d^2u_C}{dt^2} + u_C = 0$ .

2) $T_0 = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{0{,}25 \times 4\times 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{1\times 10^{-6}} = 2\pi \times 10^{-3} \approx 6{,}28\ \text{ms}$ .

3) $E_{tot} = \dfrac{1}{2}C U_0^2 = 0{,}5 \times 4\times 10^{-6} \times 6^2 = 7{,}2\times 10^{-5}\ \text{J}$ . Au maximum du courant, toute l'énergie est magnétique : $\dfrac{1}{2}LI_m^2 = E_{tot} \Rightarrow I_m = \sqrt{\dfrac{2E_{tot}}{L}} = \sqrt{\dfrac{2\times 7{,}2\times 10^{-5}}{0{,}25}} = \sqrt{5{,}76\times 10^{-4}} = 0{,}024\ \text{A} = 24\ \text{mA}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un circuit RLC série comprend une bobine d'inductance $L = 0{,}2\ \text{H}$ et un condensateur de capacité $C = 2\ \mu\text{F}$ (résistance négligeable). Calculer la période propre $T_0$ des oscillations.

Voir la correction

$T_0 = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{0{,}2 \times 2\times 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{4\times 10^{-7}} \approx 2\pi \times 6{,}32\times 10^{-4} \approx 3{,}97\times 10^{-3}\ \text{s} \approx 4{,}0\ \text{ms}$ .

Exercice 2

Moyen

On observe expérimentalement, pour un circuit RLC série de capacité $C = 1\ \mu\text{F}$ (R faible), une pseudo-période $T \approx 6{,}28\ \text{ms}$ . En déduire une valeur approchée de l'inductance $L$ .

Voir la correction

$T \approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC} \Rightarrow L = \dfrac{T^2}{4\pi^2 C} = \dfrac{(6{,}28\times 10^{-3})^2}{4\pi^2 \times 1\times 10^{-6}} \approx \dfrac{3{,}94\times 10^{-5}}{3{,}95\times 10^{-5}} \approx 1\ \text{H}$ .

Exercice 3

Difficile

Un circuit RLC série a pour caractéristiques $L = 0{,}5\ \text{H}$ , $C = 2\ \mu\text{F}$ et $R = 800\ \Omega$ . Calculer la résistance critique $R_c$ et en déduire le régime des oscillations observées.

Voir la correction

$R_c = 2\sqrt{\dfrac{L}{C}} = 2\sqrt{\dfrac{0{,}5}{2\times 10^{-6}}} = 2\sqrt{250\,000} = 2 \times 500 = 1000\ \Omega$ . Comme $R = 800\ \Omega < R_c = 1000\ \Omega$ , le régime est pseudo-périodique (oscillations amorties).

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que la période propre T₀ d'un circuit LC ?

T₀ = 2π√(LC) est la période des oscillations dans le cas idéal où la résistance du circuit est nulle (aucun amortissement). C'est une caractéristique du circuit (L et C), indépendante de l'amplitude initiale.

Quelle est la différence entre régime pseudo-périodique et régime apériodique ?

En régime pseudo-périodique (R faible, inférieure à la résistance critique), la tension uC(t) oscille avec une amplitude qui décroît progressivement. En régime apériodique (R grande), uC(t) retourne directement vers zéro sans aucune oscillation.

Pourquoi l'amplitude des oscillations diminue-t-elle au cours du temps dans un circuit RLC réel ?

Dès que la résistance R du circuit est non nulle, une partie de l'énergie totale (électrique + magnétique) est dissipée par effet Joule dans R à chaque cycle. L'énergie totale du circuit diminue donc progressivement, ce qui se traduit par une amplitude d'oscillation décroissante.