Noyaux, Masse et Énergie — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Objectifs d'apprentissage

Calculer le défaut de masse Δm d'un noyau à partir des masses de ses nucléons et de sa masse réelle
Calculer l'énergie de liaison El = Δm·c² d'un noyau
Convertir une énergie entre joules et mégaélectronvolts (MeV)
Calculer et interpréter l'énergie de liaison par nucléon El/A comme critère de stabilité
Interpréter qualitativement la courbe d'Aston et situer les noyaux les plus stables
Relier fusion et fission nucléaires à une libération d'énergie via la courbe d'Aston
Appliquer la relation d'équivalence masse-énergie E = mc² à une transformation nucléaire

Formules et résultats clés

Défaut de masse

Un noyau est maintenu cohérent par l'interaction forte, qui compense la répulsion électrostatique entre protons. La masse d'un noyau assemblé est toujours inférieure à la somme des masses de ses nucléons pris séparément : cette différence est le défaut de masse.

$\Delta m = Z\,m_p + (A-Z)\,m_n - m(\text{noyau})$ — toujours $\Delta m > 0$

Énergie de liaison

$E_l = \Delta m \times c^2$

C'est l'énergie qu'il faudrait fournir pour séparer complètement le noyau en ses nucléons libres — ou, symétriquement, l'énergie libérée lors de son assemblage. On l'exprime généralement en mégaélectronvolts (1 MeV = 1,602 × 10⁻¹³ J), après avoir converti Δm en kilogrammes (1 u = 1,6605 × 10⁻²⁷ kg).

Énergie de liaison par nucléon : le critère de stabilité

$\dfrac{E_l}{A}$ — plus ce rapport est grand, plus le noyau est stable

Contrairement à El (qui croît avec la taille du noyau), El/A permet de comparer la stabilité de noyaux différents. Elle est maximale (≈ 8,8 MeV/nucléon) pour les noyaux de masse intermédiaire comme le fer (A ≈ 56).

Courbe d'Aston

La courbe d'Aston représente l'opposé de El/A en fonction de A. Les noyaux les plus stables se trouvent au creux de la courbe, autour de A ≈ 60. La fusion de noyaux légers (à gauche) et la fissionde noyaux lourds (à droite) rapprochent toutes deux les noyaux formés de ce creux — c'est pourquoi ces deux réactions libèrent de l'énergie, alors qu'elles semblent opposées.

Équivalence masse-énergie

$E = mc^2$ — toute variation de masse $\Delta m$ lors d'une transformation nucléaire s'accompagne d'une énergie $|\Delta m|\,c^2$ échangée avec le milieu extérieur

Erreurs fréquentes

Intervertir Z (numéro atomique, nombre de protons) et A (nombre de masse, nombre total de nucléons) dans le calcul du défaut de masse.

Oublier que Δm est une différence de masse entre nucléons séparés et noyau assemblé — ce n'est pas la masse du noyau lui-même, et il est toujours positif.

Confondre énergie de liaison totale El et énergie de liaison par nucléon El/A — c'est El/A, pas El, qui sert à comparer la stabilité de deux noyaux différents.

Oublier de convertir Δm de l'unité de masse atomique (u) en kilogrammes avant d'utiliser E = Δm·c² — le résultat en joules est faux si Δm reste en u.

Croire que plus un noyau est gros (A grand), plus il est stable — la stabilité dépend de El/A, maximale autour de A ≈ 60, pas de la taille du noyau.

Exemple corrigé — Défaut de masse et énergie de liaison de l'hélium 4

Énoncé

Le noyau d'hélium 4 ( $^{4}_{2}\text{He}$ ) a une masse $m = 4{,}00150\ \text{u}$ . On donne $m_p = 1{,}00728\ \text{u}$ , $m_n = 1{,}00867\ \text{u}$ , $1\ \text{u} = 1{,}6605\times 10^{-27}\ \text{kg}$ , $c = 3{,}00\times 10^8\ \text{m/s}$ et $1\ \text{MeV} = 1{,}602\times 10^{-13}\ \text{J}$ . Calculer le défaut de masse, l'énergie de liaison en MeV, puis l'énergie de liaison par nucléon.

Correction

$\Delta m = 2\,m_p + 2\,m_n - m = 2\times 1{,}00728 + 2\times 1{,}00867 - 4{,}00150 = 0{,}03040\ \text{u}$ .

En kilogrammes : $\Delta m = 0{,}03040 \times 1{,}6605\times 10^{-27} \approx 5{,}05\times 10^{-29}\ \text{kg}$ .

$E_l = \Delta m\,c^2 \approx 5{,}05\times 10^{-29} \times 9{,}00\times 10^{16} \approx 4{,}54\times 10^{-12}\ \text{J}$ , soit $E_l \approx \dfrac{4{,}54\times 10^{-12}}{1{,}602\times 10^{-13}} \approx 28{,}4\ \text{MeV}$ .

L'énergie de liaison par nucléon vaut $\dfrac{E_l}{A} = \dfrac{28{,}4}{4} \approx 7{,}1\ \text{MeV/nucléon}$ — une valeur élevée qui explique l'exceptionnelle stabilité du noyau d'hélium 4.

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Donner l'expression littérale du défaut de masse Δm d'un noyau $^{A}_{Z}\text{X}$ en fonction de $Z$ , $A$ , de la masse d'un proton $m_p$ , d'un neutron $m_n$ et de la masse du noyau $m(X)$ .

Voir la correction

$\Delta m = Z\,m_p + (A-Z)\,m_n - m(X)$ .

Exercice 2

Moyen

Le deutérium $^{2}_{1}\text{H}$ a une masse nucléaire $m = 2{,}01355\ \text{u}$ . Sachant que $m_p = 1{,}00728\ \text{u}$ et $m_n = 1{,}00867\ \text{u}$ , calculer le défaut de masse puis l'énergie de liaison en MeV ( $1\ \text{u} = 1{,}6605\times 10^{-27}\ \text{kg}$ , $c = 3{,}00\times 10^8\ \text{m/s}$ , $1\ \text{MeV} = 1{,}602\times 10^{-13}\ \text{J}$ ).

Voir la correction

$\Delta m = 1{,}00728 + 1{,}00867 - 2{,}01355 = 0{,}00240\ \text{u}$ , soit $0{,}00240 \times 1{,}6605\times 10^{-27} \approx 3{,}99 \times 10^{-30}\ \text{kg}$ . $E_l = \Delta m\, c^2 \approx 3{,}99\times 10^{-30} \times 9{,}00\times 10^{16} \approx 3{,}59\times 10^{-13}\ \text{J} \approx 2{,}24\ \text{MeV}$ .

Exercice 3

Difficile

Le noyau de fer 56 ( $^{56}_{26}\text{Fe}$ ) a une énergie de liaison $E_l = 492\ \text{MeV}$ . Calculer son énergie de liaison par nucléon, puis comparer sa stabilité à celle de l'uranium 238, pour lequel $E_l/A = 7{,}6\ \text{MeV/nucléon}$ .

Voir la correction

$\dfrac{E_l}{A} = \dfrac{492}{56} \approx 8{,}79\ \text{MeV/nucléon}$ . Comme $8{,}79 > 7{,}6$ , le fer 56 est plus stable que l'uranium 238 — cohérent avec sa position proche du creux de la courbe d'Aston.

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que le défaut de masse d'un noyau ?

C'est la différence entre la masse des nucléons pris séparément (Z protons + (A−Z) neutrons libres) et la masse réelle du noyau assemblé : Δm = Z·mp + (A−Z)·mn − m(noyau). Δm est toujours positif : le noyau est plus léger que la somme de ses constituants séparés, la différence ayant été « convertie » en énergie de liaison lors de la formation du noyau.

Pourquoi utilise-t-on l'énergie de liaison par nucléon plutôt que l'énergie de liaison totale ?

L'énergie de liaison totale El augmente naturellement avec le nombre de nucléons A, donc elle ne permet pas de comparer la stabilité de deux noyaux de tailles différentes. Le rapport El/A (énergie de liaison par nucléon) est le vrai critère de stabilité : plus il est grand, plus le noyau est stable.

Que montre la courbe d'Aston ?

La courbe d'Aston représente l'opposé de l'énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de masse A. Les noyaux les plus stables se situent au creux de la courbe, autour de A ≈ 60 (fer, nickel). La fusion de noyaux légers et la fission de noyaux lourds rapprochent tous deux les noyaux formés de ce creux, ce qui explique pourquoi ces deux réactions libèrent de l'énergie.