Mouvement des Satellites et des Planètes — Cours, Exercices (Bac SMA)

Objectifs d'apprentissage

Énoncer la loi de gravitation universelle et l'exprimer entre deux corps ponctuels ou à répartition sphérique de masse
Reconnaître que la force de gravitation exercée par un astre sur un satellite en orbite circulaire joue le rôle de force centripète
Établir l'expression de la vitesse orbitale d'un satellite en orbite circulaire autour d'un astre
Établir la troisième loi de Kepler pour une orbite circulaire et l'utiliser pour déterminer une période ou une masse
Reconnaître que la période d'un satellite en orbite circulaire ne dépend pas de sa propre masse
Décrire les caractéristiques d'un satellite géostationnaire

Formules et résultats clés

Force de gravitation universelle

$F = G\dfrac{m_1 m_2}{d^2}$

$m_1$ et $m_2$ sont les masses des deux corps (en kg), d la distance entre leurs centres (en m), et $G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \text{N·m}^2\text{/kg}^2$ la constante de gravitation universelle. Cette force est toujours attractive, dirigée le long de la droite joignant les deux corps.

Satellite en orbite circulaire

Pour un satellite en orbite circulaire de rayon r autour d'un astre de masse M, la force de gravitation est la seule force qui agit (frottements négligés) : elle joue le rôle de force centripète. En appliquant la 2e loi de Newton, $G\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}$ , d'où la vitesse orbitale :

$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$

Troisième loi de Kepler

$\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM}$

T est la période de révolution du satellite. Cette relation, obtenue à partir de $T = \dfrac{2\pi r}{v}$ , ne dépend que de la masse M de l'astre central : la masse du satellite s'y simplifie.

Satellite géostationnaire

Un satellite géostationnaire a une période de révolution égale à la période de rotation de la Terre sur elle-même (24 h), une orbite circulaire et équatoriale : il paraît immobile depuis le sol. Son altitude, déduite de la troisième loi de Kepler, vaut environ 36 000 km.

Erreurs fréquentes

Utiliser l'altitude du satellite au lieu du rayon de l'orbite, qui est la somme du rayon de l'astre central et de l'altitude.

Confondre la constante de gravitation universelle G avec l'accélération de la pesanteur g au voisinage de la Terre : ce sont deux grandeurs différentes.

Croire que la constante 4π²/(GM) de la troisième loi de Kepler dépend de la masse du satellite, alors qu'elle ne dépend que de la masse de l'astre central.

Appliquer les caractéristiques du satellite géostationnaire (période de 24 h, orbite équatoriale) à un satellite quelconque.

Confondre masse et poids dans l'expression de la force de gravitation : les grandeurs m1 et m2 sont des masses, exprimées en kilogrammes.

Exemple corrigé — Satellite en orbite basse

Énoncé

Un satellite est placé en orbite circulaire autour de la Terre, à une altitude $h = 700\ \text{km}$ . On donne le rayon de la Terre $R_T = 6380\ \text{km}$ , la masse de la Terre $M_T = 5{,}98\times 10^{24}\ \text{kg}$ et $G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \text{N·m}^2\text{/kg}^2$ . 1) Calculer le rayon r de l'orbite. 2) Calculer la vitesse orbitale du satellite. 3) Calculer sa période de révolution, en minutes.

Correction

1) $r = R_T + h = 6380 + 700 = 7080\ \text{km} = 7{,}08\times 10^{6}\ \text{m}$ .

2) $GM_T = 6{,}67\times 10^{-11}\times 5{,}98\times 10^{24} \approx 3{,}99\times 10^{14}\ \text{m}^3\text{/s}^2$ . $v = \sqrt{\dfrac{GM_T}{r}} = \sqrt{\dfrac{3{,}99\times 10^{14}}{7{,}08\times 10^{6}}} = \sqrt{5{,}63\times 10^{7}} \approx 7{,}51\times 10^{3}\ \text{m/s} \approx 7{,}5\ \text{km/s}$ .

3) $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi\times 7{,}08\times 10^{6}}{7{,}51\times 10^{3}} \approx 5{,}93\times 10^{3}\ \text{s} \approx 98{,}8\ \text{min}$ , soit environ 1 h 39 min.

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Deux masses ponctuelles $m_1 = 50\ \text{kg}$ et $m_2 = 80\ \text{kg}$ sont séparées d'une distance $d = 2{,}0\ \text{m}$ . Calculer l'intensité de la force de gravitation entre elles. On donne $G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \text{N·m}^2\text{/kg}^2$ .

Voir la correction

$F = G\dfrac{m_1 m_2}{d^2} = 6{,}67\times 10^{-11}\times \dfrac{50\times 80}{2{,}0^2} = 6{,}67\times 10^{-11}\times \dfrac{4000}{4{,}0} = 6{,}67\times 10^{-11}\times 1000 = 6{,}67\times 10^{-8}\ \text{N}$ .

Exercice 2

Moyen

Un satellite est en orbite circulaire autour de la Terre, à un rayon $r = 7{,}0\times 10^{6}\ \text{m}$ (mesuré depuis le centre de la Terre). On donne $GM_{Terre} = 3{,}99\times 10^{14}\ \text{m}^3\text{/s}^2$ . Calculer sa vitesse orbitale.

Voir la correction

$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{3{,}99\times 10^{14}}{7{,}0\times 10^{6}}} = \sqrt{5{,}70\times 10^{7}} \approx 7{,}55\times 10^{3}\ \text{m/s} \approx 7{,}55\ \text{km/s}$ .

Exercice 3

Difficile

Une exoplanète décrit une orbite circulaire de rayon $a = 2{,}0\times 10^{11}\ \text{m}$ autour de son étoile, avec une période $T = 3{,}0\times 10^{7}\ \text{s}$ . On donne $G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \text{N·m}^2\text{/kg}^2$ et la masse du Soleil $M_S \approx 2{,}0\times 10^{30}\ \text{kg}$ . 1) À l'aide de la troisième loi de Kepler, calculer la masse M de l'étoile. 2) Comparer M à la masse du Soleil : cette étoile est-elle plus ou moins massive que le Soleil ?

Voir la correction

1) $T^2 = \dfrac{4\pi^2 a^3}{GM} \Rightarrow M = \dfrac{4\pi^2 a^3}{G T^2}$ . $a^3 = (2{,}0\times 10^{11})^3 = 8{,}0\times 10^{33}\ \text{m}^3$ . $T^2 = (3{,}0\times 10^7)^2 = 9{,}0\times 10^{14}\ \text{s}^2$ . $M = \dfrac{4\pi^2\times 8{,}0\times 10^{33}}{6{,}67\times 10^{-11}\times 9{,}0\times 10^{14}} = \dfrac{3{,}16\times 10^{35}}{6{,}00\times 10^{4}} \approx 5{,}3\times 10^{30}\ \text{kg}$ . 2) $\dfrac{M}{M_S} = \dfrac{5{,}3\times 10^{30}}{2{,}0\times 10^{30}} \approx 2{,}6$ : cette étoile est environ 2,6 fois plus massive que le Soleil.

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Questions fréquentes

Pourquoi la force de gravitation joue-t-elle le rôle de force centripète pour un satellite en orbite circulaire ?

Parce que c'est la seule force qui agit sur le satellite, en négligeant les frottements atmosphériques, et qu'elle est constamment dirigée vers le centre de la Terre. En appliquant la 2e loi de Newton à un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est centripète, donc la force de gravitation impose l'accélération centripète du satellite.

La troisième loi de Kepler dépend-elle de la masse du satellite ?

Non. Dans T²/a³ = 4π²/(GM), M est la masse du corps central (la Terre, le Soleil...) : la masse du satellite s'élimine lors de l'application de la 2e loi de Newton, car elle apparaît des deux côtés de l'égalité. Deux satellites de masses différentes sur la même orbite ont donc la même période.

Qu'est-ce qu'un satellite géostationnaire ?

Un satellite dont la période de révolution est égale à la période de rotation de la Terre sur elle-même (24 h), et dont l'orbite est circulaire et équatoriale : vu depuis le sol, il apparaît immobile. Son altitude est d'environ 36 000 km.