Mouvement de Rotation d'un Solide Autour d'un Axe Fixe — Cours (Bac SMA)

Objectifs d'apprentissage

Définir l'abscisse angulaire, la vitesse angulaire et l'accélération angulaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe
Relier la vitesse linéaire d'un point du solide à sa distance à l'axe et à la vitesse angulaire
Définir le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe et connaître l'expression de quelques solides usuels
Définir le moment d'une force par rapport à un axe, à l'aide du bras de levier
Énoncer et appliquer la relation fondamentale de la dynamique de rotation
Exprimer l'énergie cinétique de rotation d'un solide en fonction de son moment d'inertie et de sa vitesse angulaire

Formules et résultats clés

Grandeurs angulaires

$\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$ (vitesse angulaire, rad/s)

$\ddot\theta = \dfrac{d\omega}{dt}$ (accélération angulaire, rad/s²)

$v = r\,\omega$ (vitesse linéaire d'un point à distance r de l'axe)

Moment d'inertie

Le moment d'inertie J (en kg·m²) caractérise la répartition de la masse d'un solide par rapport à son axe de rotation. Exemples usuels : cylindre plein homogène de masse m et rayon R, $J = \dfrac{1}{2}mR^2$ ; tige homogène de masse m et longueur L, en rotation autour d'un axe perpendiculaire passant par son centre, $J = \dfrac{1}{12}mL^2$ .

Moment d'une force

$\mathcal{M}(\vec{F}) = F\times d$

d est le bras de levier : la distance perpendiculaire entre l'axe et la droite d'action de la force.

Relation fondamentale de la dynamique de rotation

$\sum \mathcal{M}_{ext} = J\,\ddot\theta$

Analogue rotationnel de $\sum \vec{F}_{ext} = m\vec{a}$ : la somme des moments des forces extérieures par rapport à l'axe est égale au produit du moment d'inertie par l'accélération angulaire.

Énergie cinétique de rotation

$E_c = \dfrac{1}{2}J\omega^2$

Erreurs fréquentes

Confondre le moment d'inertie J, qui dépend de la répartition de la masse par rapport à l'axe, avec la masse m elle-même — deux solides de même masse mais de formes différentes ont des J différents.

Oublier le bras de levier dans le moment d'une force : le moment vaut F fois la distance perpendiculaire à l'axe, pas seulement l'intensité de la force.

Oublier le facteur r en convertissant vitesse linéaire et vitesse angulaire : la vitesse d'un point vaut r fois ω, et non ω seul.

Oublier de sommer tous les moments des forces extérieures, y compris un éventuel moment de frottement, dans la relation fondamentale de la dynamique de rotation.

Confondre les unités : le moment d'inertie s'exprime en kg·m², la vitesse angulaire en rad/s, l'accélération angulaire en rad/s² — jamais d'unités linéaires.

Exemple corrigé — Poulie entraînée par une force tangentielle

Énoncé

Une poulie assimilée à un disque plein homogène, de masse $m = 2{,}0\ \text{kg}$ et de rayon $R = 0{,}10\ \text{m}$ , peut tourner sans frottement autour d'un axe fixe horizontal passant par son centre. Un fil enroulé sur sa gorge exerce une force tangentielle constante $F = 5{,}0\ \text{N}$ . 1) Calculer le moment d'inertie J de la poulie. 2) Calculer le moment de la force F par rapport à l'axe. 3) En déduire l'accélération angulaire de la poulie. 4) La poulie partant du repos, calculer sa vitesse angulaire à $t = 2{,}0\ \text{s}$ , puis la vitesse d'un point de son bord à cet instant.

Correction

1) $J = \dfrac{1}{2}mR^2 = 0{,}5\times 2{,}0\times (0{,}10)^2 = 1{,}0\times 0{,}010 = 1{,}0\times 10^{-2}\ \text{kg·m}^2$ .

2) La force est tangentielle, appliquée au bord : le bras de levier vaut R. $\mathcal{M}(F) = F\times R = 5{,}0\times 0{,}10 = 0{,}50\ \text{N·m}$ .

3) D'après la RFD, $\ddot\theta = \dfrac{\mathcal{M}(F)}{J} = \dfrac{0{,}50}{1{,}0\times 10^{-2}} = 50\ \text{rad/s}^2$ .

4) Partant du repos, $\omega(t) = \ddot\theta\,t$ , donc $\omega(2{,}0) = 50\times 2{,}0 = 100\ \text{rad/s}$ . La vitesse d'un point du bord vaut $v = R\omega = 0{,}10\times 100 = 10\ \text{m/s}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Une tige homogène de masse $m = 0{,}50\ \text{kg}$ et de longueur $L = 1{,}0\ \text{m}$ tourne autour d'un axe fixe passant par son centre, perpendiculaire à la tige. Calculer son moment d'inertie J par rapport à cet axe.

Voir la correction

$J = \dfrac{1}{12}mL^2 = \dfrac{1}{12}\times 0{,}50\times 1{,}0^2 = \dfrac{0{,}50}{12} \approx 4{,}2\times 10^{-2}\ \text{kg·m}^2$ .

Exercice 2

Moyen

Un volant d'inertie de moment d'inertie $J = 0{,}40\ \text{kg·m}^2$ est soumis à un moment résultant des forces extérieures $\sum \mathcal{M} = 2{,}0\ \text{N·m}$ . Partant du repos, calculer sa vitesse angulaire après $t = 5{,}0\ \text{s}$ .

Voir la correction

$\ddot\theta = \dfrac{\sum \mathcal{M}}{J} = \dfrac{2{,}0}{0{,}40} = 5{,}0\ \text{rad/s}^2$ . Partant du repos, $\omega(t) = \ddot\theta\,t$ , donc $\omega(5{,}0) = 5{,}0\times 5{,}0 = 25\ \text{rad/s}$ .

Exercice 3

Difficile

Une poulie assimilée à un disque plein homogène, de masse $m_p = 1{,}5\ \text{kg}$ et de rayon $R = 0{,}15\ \text{m}$ , mobile sans frottement autour d'un axe fixe horizontal passant par son centre, porte un fil inextensible et de masse négligeable enroulé sur sa gorge, sans glissement. À l'extrémité du fil est suspendue une masse $m = 0{,}50\ \text{kg}$ ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ). 1) Calculer le moment d'inertie $J_p$ de la poulie. 2) En appliquant la relation fondamentale de la dynamique de rotation à la poulie et la 2e loi de Newton à la masse suspendue, montrer que $\ddot\theta = \dfrac{mgR}{mR^2+J_p}$ , puis calculer sa valeur. 3) En déduire la tension T du fil.

Voir la correction

1) $J_p = \dfrac{1}{2}m_pR^2 = 0{,}5\times 1{,}5\times (0{,}15)^2 = 0{,}75\times 0{,}0225 \approx 1{,}69\times 10^{-2}\ \text{kg·m}^2$ . 2) Pour la masse suspendue : $mg - T = ma = mR\ddot\theta$ . Pour la poulie : $TR = J_p\ddot\theta$ , donc $T = J_p\ddot\theta/R$ . En combinant : $mg = mR\ddot\theta + J_p\ddot\theta/R$ , d'où $\ddot\theta = \dfrac{mgR}{mR^2+J_p} = \dfrac{0{,}50\times 9{,}8\times 0{,}15}{0{,}50\times 0{,}15^2 + 0{,}0169} = \dfrac{0{,}735}{0{,}01125+0{,}0169} = \dfrac{0{,}735}{0{,}02813} \approx 26{,}1\ \text{rad/s}^2$ . 3) $T = J_p\ddot\theta/R = 0{,}0169\times 26{,}1/0{,}15 \approx 2{,}9\ \text{N}$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre la vitesse angulaire ω et la vitesse linéaire v d'un point du solide ?

La vitesse angulaire ω (en rad/s) caractérise la rotation de l'ensemble du solide et est la même pour tous ses points. La vitesse linéaire v (en m/s) est la vitesse d'un point particulier, situé à une distance r de l'axe : v = r·ω, elle dépend donc de la position du point sur le solide.

Le moment d'inertie J dépend-il de la vitesse de rotation du solide ?

Non. J ne dépend que de la masse du solide et de la façon dont elle est répartie par rapport à l'axe de rotation choisi : c'est une caractéristique géométrique du solide et de l'axe, indépendante de son mouvement.

Qu'est-ce que le bras de levier d'une force ?

C'est la distance perpendiculaire entre l'axe de rotation et la droite d'action de la force. Le moment de la force vaut M(F) = F×d : plus le bras de levier est grand, plus la force est efficace pour faire tourner le solide, à intensité égale.