Dipôle RL — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Objectifs d'apprentissage

Établir l'équation différentielle vérifiée par i(t) lors de l'établissement du courant dans une bobine (L, r) associée en série à un résistor R
Vérifier que i(t) = E/(R+r)·(1 − e^(−t/τ)) est solution de cette équation différentielle
Définir la constante de temps τ = L/(R+r) et l'exprimer avec les bonnes unités (henry, ohm, seconde)
Décrire la rupture du courant et exploiter la loi i(t) = I₀·e^(−t/τ)
Exploiter la continuité de l'intensité i(t) à travers une bobine, contrairement à la tension à ses bornes
Calculer l'énergie emmagasinée dans une bobine E_L = ½Li²
Exploiter un chronogramme i(t) pour déterminer R, r, L ou τ

Formules et résultats clés

Établissement du courant

On associe en série un résistor R et une bobine (inductance L, résistance interne r) sous une tension d'échelon E. La loi des mailles ( $E = u_R + u_L$ avec $u_R=(R+r)i$ et $u_L = L\dfrac{di}{dt}$ ) donne l'équation différentielle du premier ordre vérifiée par $i(t)$ :

$L\dfrac{di}{dt} + (R+r)\,i = E$

Sa solution, avec la condition initiale $i(0) = 0$ , est :

$i(t) = \dfrac{E}{R+r}\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \qquad \text{avec } \tau = \dfrac{L}{R+r}$

Continuité du courant, discontinuité de u_L

À la fermeture du circuit, $i(0^+) = i(0^-) = 0$ (continuité de l'intensité), donc toute la tension E apparaît instantanément aux bornes de la bobine : $u_L(0^+) = E$ . C'est u_L, et non i, qui subit un saut à $t=0$ — l'exact opposé du dipôle RC, où c'était $u_C$ la grandeur continue.

Rupture du courant

Une fois le régime permanent atteint (i = I₀ = E/(R+r)), on supprime le générateur en refermant le circuit sur lui-même (second membre nul) :

$L\dfrac{di}{dt} + (R+r)\,i = 0 \ \Longrightarrow \ i(t) = I_0\,e^{-t/\tau}$

Si le circuit est ouvert brutalement sans trajet de substitution pour le courant, la bobine génère une surtension susceptible de provoquer une étincelle au niveau de l'interrupteur — la signature expérimentale de son opposition aux variations brusques de courant.

Énergie emmagasinée

Une bobine parcourue par un courant d'intensité i emmagasine une énergie sous forme magnétique : $E_L = \dfrac{1}{2}Li^2$ (en joules, avec L en henrys et i en ampères).

Erreurs fréquentes

Confondre la grandeur continue : c'est l'intensité i(t) dans la bobine qui ne subit jamais de discontinuité — pas la tension u_L à ses bornes, qui peut sauter brutalement (à l'inverse du dipôle RC, où c'était u_C qui était continue).

Oublier la résistance interne r de la bobine dans l'équation différentielle : le second membre et la constante de temps dépendent de (R + r), pas de R seul.

Confondre τ = L/(R+r) avec τ = RC du dipôle RC — attention à l'homogénéité : un henry divisé par un ohm donne bien une seconde, jamais un henry multiplié par un ohm.

Se tromper de second membre dans l'équation de la rupture du courant : il est nul, alors que celui de l'établissement vaut E.

Oublier les unités : τ n'est homogène à une seconde que si L est en henrys (H) et (R+r) en ohms (Ω) — attention aux préfixes (mH, kΩ).

Exemple corrigé — Établissement du courant

Énoncé

Un dipôle RL série comprend une bobine d'inductance $L = 0{,}5\ \text{H}$ et de résistance interne $r = 10\ \Omega$ , associée à un résistor $R = 90\ \Omega$ , sous une tension d'échelon $E = 5\ \text{V}$ . 1) Calculer la constante de temps τ. 2) Calculer l'intensité maximale $I_{max}$ . 3) Calculer $i(\tau)$ . 4) Calculer l'énergie emmagasinée dans la bobine en régime permanent.

Correction

1) $R+r = 100\ \Omega$ , donc $\tau = \dfrac{L}{R+r} = \dfrac{0{,}5}{100} = 5\times 10^{-3}\ \text{s} = 5\ \text{ms}$ .

2) $I_{max} = \dfrac{E}{R+r} = \dfrac{5}{100} = 0{,}05\ \text{A} = 50\ \text{mA}$ .

3) $i(\tau) = I_{max}(1-e^{-1}) = 50 \times 0{,}632 \approx 31{,}6\ \text{mA}$ .

4) $E_L = \dfrac{1}{2}L\,I_{max}^2 = 0{,}5 \times 0{,}5 \times (0{,}05)^2 = 6{,}25\times 10^{-4}\ \text{J} = 0{,}625\ \text{mJ}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Une bobine d'inductance $L = 0{,}2\ \text{H}$ et de résistance interne négligeable est associée en série à un résistor $R = 100\ \Omega$ . Calculer la constante de temps τ du circuit.

Voir la correction

$\tau = \dfrac{L}{R} = \dfrac{0{,}2}{100} = 2\times 10^{-3}\ \text{s} = 2\ \text{ms}$ .

Exercice 2

Moyen

Un dipôle RL de résistance totale $R+r = 200\ \Omega$ établit un courant sous une tension d'échelon $E = 8\ \text{V}$ . Calculer l'intensité maximale $I_{max}$ , puis l'intensité $i(\tau)$ à l'instant $t=\tau$ .

Voir la correction

$I_{max} = \dfrac{E}{R+r} = \dfrac{8}{200} = 0{,}04\ \text{A} = 40\ \text{mA}$ . À $t=\tau$ : $i(\tau) = I_{max}(1-e^{-1}) = 40 \times 0{,}632 \approx 25{,}3\ \text{mA}$ .

Exercice 3

Difficile

Lors de la rupture du courant dans un dipôle RL de résistance totale $R+r = 500\ \Omega$ , le courant établi valait $I_0 = 20\ \text{mA}$ . On mesure $i = 7{,}4\ \text{mA}$ à l'instant $t = 4\ \text{ms}$ après la rupture. Déterminer τ, puis en déduire l'inductance $L$ .

Voir la correction

$i(t) = I_0\,e^{-t/\tau}$ , donc $e^{-t/\tau} = \dfrac{7{,}4}{20} = 0{,}37 \approx e^{-1}$ , soit $\dfrac{t}{\tau} \approx 1$ et $\tau \approx 4\ \text{ms}$ . On en déduit $L = \tau(R+r) = 4\times 10^{-3} \times 500 = 2\ \text{H}$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Quelle grandeur électrique reste continue dans un dipôle RL ?

C'est l'intensité i(t) du courant qui traverse la bobine qui est une fonction continue du temps — elle ne peut jamais subir de saut brutal. En revanche, la tension u_L aux bornes de la bobine peut, elle, être discontinue (par exemple à la fermeture du circuit).

Qu'est-ce que la constante de temps τ = L/(R+r) ?

τ = L/(R+r) est le temps caractéristique du régime transitoire d'un circuit RL, exprimé en secondes si L est en henrys et (R+r) en ohms. Après environ 5τ, le courant est considéré comme ayant atteint son régime permanent.

Pourquoi une étincelle apparaît-elle parfois à l'ouverture d'un interrupteur dans un circuit à bobine ?

La bobine s'oppose à toute variation brutale du courant. Si l'on ouvre brusquement l'interrupteur, le circuit ne peut plus offrir de trajet à un courant continu : la bobine tente alors de maintenir i(t) en générant une tension induite très élevée (surtension), suffisante pour provoquer un arc électrique (étincelle) aux bornes du contact.