Décroissance Radioactive — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Objectifs d'apprentissage

Écrire l'équation d'une désintégration radioactive en appliquant les lois de conservation de Soddy
Distinguer les désintégrations α, β⁻ et β⁺ et identifier la particule émise dans chaque cas
Exploiter la loi de décroissance radioactive N(t) = N₀e^(−λt)
Définir et calculer la demi-vie t½ = ln(2)/λ d'un radionucléide
Calculer l'activité A(t) = λN(t) d'un échantillon radioactif, en becquerels
Exploiter une courbe de décroissance N(t) pour déterminer graphiquement λ ou t½
Relier le nombre de demi-vies écoulées à la fraction de noyaux restants

Formules et résultats clés

La radioactivité et les lois de Soddy

Un noyau instable (radionucléide) se désintègre spontanément et aléatoirement en émettant une particule et, souvent, un rayonnement γ. Toute équation de désintégration doit respecter les deux lois de conservation de Soddy : conservation du nombre de nucléons A et conservation du numéro atomique (charge) Z.

Les trois types de désintégration

Désintégration α

Émission d'un noyau d'hélium (A diminue de 4, Z diminue de 2).

$^{A}_{Z}\text{X} \rightarrow \ ^{A-4}_{Z-2}\text{Y} + \ ^{4}_{2}\text{He}$

Désintégration β⁻

Émission d'un électron (A inchangé, Z augmente de 1) — un neutron devient un proton.

$^{A}_{Z}\text{X} \rightarrow \ ^{A}_{Z+1}\text{Y} + \ ^{0}_{-1}e$

Désintégration β⁺

Émission d'un positon (A inchangé, Z diminue de 1) — un proton devient un neutron.

$^{A}_{Z}\text{X} \rightarrow \ ^{A}_{Z-1}\text{Y} + \ ^{0}_{1}e$

Loi de décroissance radioactive

$N(t) = N_0\, e^{-\lambda t}$ — $N_0$ nombre de noyaux à $t=0$ , $\lambda$ constante radioactive ( $\text{s}^{-1}$ )

Activité et demi-vie

$A(t) = \lambda N(t) = A_0 e^{-\lambda t}\ (\text{Bq}) \qquad t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$

L'activité A(t), en becquerels (Bq = désintégrations par seconde), mesure le nombre de désintégrations par unité de temps. La demi-vie t½ est le temps au bout duquel la moitié des noyaux initiaux ont disparu : après n demi-vies, il reste N₀/2ⁿ noyaux.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier les deux lois de conservation (nombre de masse A et numéro atomique Z) simultanément lors de l'écriture d'une équation de désintégration.

Confondre demi-vie t½ et constante radioactive λ — la relation correcte est t½ = ln(2)/λ, pas t½ = 1/λ.

Croire qu'après deux demi-vies il ne reste plus rien de l'échantillon — en réalité N décroît en étant divisé par 2 à chaque demi-vie (il reste théoriquement toujours une fraction non nulle).

Confondre le nombre de noyaux restants N(t) et l'activité A(t) — l'activité, en becquerels (Bq), est proportionnelle à N(t) via A(t) = λN(t), ce n'est pas la même grandeur.

Mélanger les unités de temps entre λ et t½ (jours, années, secondes) sans les convertir dans le même système avant de calculer.

Exemple corrigé — Décroissance et activité

Énoncé

Un échantillon radioactif contient $N_0 = 8 \times 10^{10}$ noyaux à $t=0$ . Sa demi-vie vaut $t_{1/2} = 5$ jours. 1) Calculer la constante radioactive λ (en jour⁻¹). 2) Calculer le nombre de noyaux restants après 15 jours. 3) Calculer l'activité initiale $A_0$ en becquerels.

Correction

1) $\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} = \dfrac{0{,}693}{5} \approx 0{,}139\ \text{jour}^{-1}$ .

2) $15$ jours $= 3$ demi-vies, donc $N(15) = \dfrac{N_0}{2^3} = \dfrac{8\times 10^{10}}{8} = 1 \times 10^{10}$ noyaux.

3) On convertit $t_{1/2}$ en secondes : $5 \times 86400 = 432\,000\ \text{s}$ , d'où $\lambda = \dfrac{\ln 2}{432\,000} \approx 1{,}60 \times 10^{-6}\ \text{s}^{-1}$ . L'activité initiale vaut $A_0 = \lambda N_0 = 1{,}60\times 10^{-6} \times 8\times 10^{10} \approx 1{,}28 \times 10^{5}\ \text{Bq}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Écrire l'équation de désintégration α du noyau d'uranium 238 ( $^{238}_{92}\text{U}$ ), en précisant le noyau de thorium (Th) obtenu.

Voir la correction

Une désintégration α émet un noyau d'hélium $^{4}_{2}\text{He}$ . Les lois de conservation donnent : $A = 238 - 4 = 234$ et $Z = 92 - 2 = 90$ . L'équation s'écrit $^{238}_{92}\text{U} \rightarrow \ ^{234}_{90}\text{Th} + \ ^{4}_{2}\text{He}$ .

Exercice 2

Moyen

Un échantillon radioactif contient initialement $N_0 = 4 \times 10^8$ noyaux. Sa demi-vie vaut $t_{1/2} = 8$ jours. Combien reste-t-il de noyaux après 24 jours ?

Voir la correction

24 jours correspondent à $\dfrac{24}{8} = 3$ demi-vies. Donc $N = \dfrac{N_0}{2^3} = \dfrac{4\times 10^8}{8} = 5 \times 10^7$ noyaux.

Exercice 3

Difficile

Un radioisotope a une constante radioactive $\lambda = 2{,}31 \times 10^{-6}\ \text{s}^{-1}$ . Calculer sa demi-vie, en secondes puis en jours.

Voir la correction

$t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda} = \dfrac{0{,}693}{2{,}31 \times 10^{-6}} \approx 3{,}0 \times 10^{5}\ \text{s}$ . En jours : $\dfrac{3{,}0 \times 10^5}{86400} \approx 3{,}5$ jours.

3 exercices, c'est un début.

Orka en génère autant que tu veux sur ce chapitre, à ton niveau, avec correction détaillée étape par étape.

Continue gratuitement sur Orka

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l'IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s'ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d'annales sur ce chapitre

Sujets d'examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Quelle est la loi de décroissance radioactive ?

N(t) = N₀e^(−λt), où N₀ est le nombre de noyaux radioactifs à l'instant t = 0, λ la constante radioactive (caractéristique du radionucléide, en s⁻¹) et t le temps écoulé. Cette loi exponentielle décrit une décroissance qui ne s'annule jamais complètement en théorie.

Quelle est la relation entre demi-vie et constante radioactive ?

La demi-vie t½ est le temps au bout duquel la moitié des noyaux radioactifs initiaux ont disparu. Elle est liée à la constante radioactive λ par t½ = ln(2)/λ, et non par t½ = 1/λ — c'est une confusion fréquente.

Quelles sont les lois de conservation à respecter dans une désintégration radioactive ?

Les lois de Soddy : le nombre de masse total A (nombre de nucléons) et le numéro atomique total Z (charge électrique) doivent être conservés entre le noyau père et l'ensemble noyau fils + particule émise. Elles permettent d'identifier le noyau fils dans une équation de désintégration α, β⁻ ou β⁺.