Circuit RLC Série en Régime Sinusoïdal Forcé — Cours, Exercices (Bac SMA)

Q: Comment calcule-t-on l'impédance d'un circuit RLC série ?

L'impédance vaut Z = √(R² + (Lω − 1/(Cω))²), où ω = 2πf est la pulsation du générateur. Elle relie la tension efficace U et l'intensité efficace I par la loi U = ZI, généralisation de la loi d'Ohm en régime sinusoïdal.

Q: Qu'est-ce que la résonance d'intensité dans un circuit RLC série ?

La résonance d'intensité se produit lorsque la pulsation du générateur est égale à la pulsation propre du circuit, ω₀ = 1/√(LC). À cet instant, les effets inductif et capacitif se compensent exactement (Lω₀ = 1/(Cω₀)), l'impédance est minimale (Z = R) et l'intensité efficace est maximale (I = U/R).

Q: Comment savoir si un circuit RLC est plutôt inductif ou capacitif à une fréquence donnée ?

On compare Lω à 1/(Cω) (ou, de façon équivalente, la fréquence f à la fréquence propre f₀). Si Lω > 1/(Cω), le circuit est inductif ; si Lω < 1/(Cω), il est capacitif ; à la résonance (f = f₀), les deux effets se compensent exactement.

Objectifs d'apprentissage

Décrire un circuit RLC série alimenté par un générateur basse fréquence délivrant une tension sinusoïdale u(t) = Um·cos(ωt)
Exprimer l'impédance Z du circuit et la calculer à partir de R, L, C et ω
Utiliser la loi U = ZI entre tension et intensité efficaces
Identifier la condition de résonance d'intensité (Z minimal, I maximal) et calculer la pulsation propre ω₀ = 1/√(LC)
Décrire qualitativement le déphasage entre tension et intensité et son évolution avec la fréquence
Relier la résonance à l'égalité entre la fréquence du générateur et la fréquence propre du circuit
Déterminer si un circuit est inductif ou capacitif à une fréquence donnée

Formules et résultats clés

Le circuit forcé

On alimente un circuit RLC série par un générateur basse fréquence (GBF) délivrant une tension sinusoïdale $u(t) = U_m\cos(\omega t)$ , de pulsation $\omega = 2\pi f$ imposée par le générateur. En régime permanent, l'intensité qui circule est elle aussi sinusoïdale, à la même fréquence, mais généralement déphasée par rapport à u(t).

Impédance et loi U = ZI

$Z = \sqrt{R^2 + \left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)^2} \qquad U = Z\,I$

U et I désignent ici les valeurs efficaces de la tension et de l'intensité. Z, exprimée en ohms, joue le rôle d'une résistance équivalente qui tient compte des effets combinés de la bobine et du condensateur.

Résonance d'intensité

$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \qquad Z_{min} = R \qquad I_{max} = \dfrac{U}{R}$

Lorsque $\omega = \omega_0$ , les termes inductif $L\omega$ et capacitif $\dfrac{1}{C\omega}$ se compensent exactement : l'impédance est minimale (Z = R) et l'intensité efficace est maximale. C'est la résonance d'intensité, atteinte lorsque la fréquence du générateur égale la fréquence propre $f_0 = \omega_0/2\pi$ du circuit.

Déphasage et nature du circuit

Si $L\omega > \dfrac{1}{C\omega}$ , le circuit est dit inductif (u en avance sur i). Si $L\omega < \dfrac{1}{C\omega}$ , il est dit capacitif (u en retard sur i). À la résonance, u et i sont exactement en phase.

Erreurs fréquentes

Oublier que Z, U et I désignent ici des valeurs efficaces, et non des valeurs maximales — ne pas confondre Um et Ueff = Um/√2.

Se tromper de signe ou oublier un terme dans l'expression de l'impédance Z = √(R² + (Lω − 1/(Cω))²).

Croire que la résonance correspond à une fréquence nulle ou infinie — elle correspond précisément à ω₀ = 1/√(LC), où les effets inductif et capacitif se compensent exactement.

Confondre la condition de résonance d'intensité (Z minimal, I maximal, Z = R) avec un maximum de tension aux bornes de la seule bobine ou du seul condensateur, qui peut survenir à une fréquence légèrement différente.

Oublier de convertir la fréquence f en pulsation ω = 2πf avant de calculer Lω ou 1/(Cω).

Exemple corrigé — Impédance et résonance

Énoncé

Un circuit RLC série comprend $R = 50\ \Omega$ , $L = 0{,}2\ \text{H}$ , $C = 2\ \mu\text{F}$ , alimenté par un GBF délivrant une tension sinusoïdale efficace $U = 6\ \text{V}$ à la fréquence $f = 200\ \text{Hz}$ . 1) Calculer l'impédance Z. 2) Calculer l'intensité efficace I. 3) Calculer la fréquence de résonance $f_0$ et comparer à f.

Correction

1) $\omega = 2\pi f \approx 1256{,}6\ \text{rad/s}$ . $L\omega \approx 251{,}3\ \Omega$ et $\dfrac{1}{C\omega} \approx 397{,}9\ \Omega$ . $Z = \sqrt{50^2 + (251{,}3-397{,}9)^2} = \sqrt{2500+21\,492} \approx 154{,}9\ \Omega$ .

2) $I = \dfrac{U}{Z} = \dfrac{6}{154{,}9} \approx 38{,}7\ \text{mA}$ .

3) $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{0{,}2\times 2\times 10^{-6}}} \approx 251{,}6\ \text{Hz}$ . Comme $f = 200\ \text{Hz} < f_0$ , le circuit fonctionne ici en dessous de la résonance (régime capacitif).

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Calculer la pulsation propre $\omega_0$ puis la fréquence propre $f_0$ d'un circuit RLC série avec $L = 0{,}1\ \text{H}$ et $C = 10\ \mu\text{F}$ .

Voir la correction

$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{0{,}1 \times 10\times 10^{-6}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1\times 10^{-6}}} = \dfrac{1}{1\times 10^{-3}} = 1000\ \text{rad/s}$ . $f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} \approx 159\ \text{Hz}$ .

Exercice 2

Moyen

À la résonance, un circuit RLC série de résistance $R = 20\ \Omega$ est alimenté sous une tension efficace $U = 4\ \text{V}$ . Calculer l'intensité efficace $I$ du courant.

Voir la correction

À la résonance, $Z = R$ , donc $I = \dfrac{U}{R} = \dfrac{4}{20} = 0{,}2\ \text{A} = 200\ \text{mA}$ .

Exercice 3

Difficile

Un circuit RLC série ( $R = 100\ \Omega$ , $L = 0{,}5\ \text{H}$ , $C = 1\ \mu\text{F}$ ) est alimenté par une tension sinusoïdale de fréquence $f = 150\ \text{Hz}$ et de valeur efficace $U = 10\ \text{V}$ . Calculer l'impédance Z puis l'intensité efficace I. Le circuit est-il plutôt inductif ou capacitif à cette fréquence ?

Voir la correction

$\omega = 2\pi f \approx 942{,}5\ \text{rad/s}$ . $L\omega \approx 471{,}2\ \Omega$ et $\dfrac{1}{C\omega} \approx 1061{,}0\ \Omega$ . $Z = \sqrt{100^2 + (471{,}2-1061{,}0)^2} = \sqrt{10\,000 + 347\,853} \approx 598{,}2\ \Omega$ . $I = \dfrac{U}{Z} = \dfrac{10}{598{,}2} \approx 16{,}7\ \text{mA}$ . Comme $\dfrac{1}{C\omega} > L\omega$ , le circuit est capacitif à cette fréquence (ce qui correspond bien à $f = 150\ \text{Hz} < f_0 \approx 225\ \text{Hz}$ ).

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Comment calcule-t-on l'impédance d'un circuit RLC série ?

L'impédance vaut Z = √(R² + (Lω − 1/(Cω))²), où ω = 2πf est la pulsation du générateur. Elle relie la tension efficace U et l'intensité efficace I par la loi U = ZI, généralisation de la loi d'Ohm en régime sinusoïdal.

Qu'est-ce que la résonance d'intensité dans un circuit RLC série ?

La résonance d'intensité se produit lorsque la pulsation du générateur est égale à la pulsation propre du circuit, ω₀ = 1/√(LC). À cet instant, les effets inductif et capacitif se compensent exactement (Lω₀ = 1/(Cω₀)), l'impédance est minimale (Z = R) et l'intensité efficace est maximale (I = U/R).

Comment savoir si un circuit RLC est plutôt inductif ou capacitif à une fréquence donnée ?

On compare Lω à 1/(Cω) (ou, de façon équivalente, la fréquence f à la fréquence propre f₀). Si Lω > 1/(Cω), le circuit est inductif ; si Lω < 1/(Cω), il est capacitif ; à la résonance (f = f₀), les deux effets se compensent exactement.