Chute Libre Verticale d'un Solide — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Objectifs d'apprentissage

Appliquer la deuxième loi de Newton à un solide en chute libre verticale, en négligeant les frottements et la poussée d'Archimède
Établir l'équation différentielle du mouvement par projection sur un axe vertical
Déterminer par intégration les expressions de la vitesse v(t) et de la position z(t) du centre d'inertie
Utiliser la relation entre la vitesse et la hauteur de chute, indépendante du temps
Distinguer la vitesse initiale v0, éventuellement non nulle, du cas particulier d'une chute sans vitesse initiale
Reconnaître que l'accélération de la chute libre ne dépend pas de la masse du solide
Résoudre des problèmes de chute libre verticale à partir de données de hauteur, de temps ou de vitesse

Formules et résultats clés

Mise en équation

Un solide en chute libre n'est soumis qu'à son poids $\vec{P} = m\vec{g}$ (frottements de l'air et poussée d'Archimède négligés). D'après la 2e loi de Newton, $m\vec{a} = m\vec{g}$ , donc $\vec{a} = \vec{g}$ : l'accélération est constante, verticale, dirigée vers le bas, et indépendante de la masse. En projetant sur un axe vertical descendant, d'origine le point de lâcher :

$\dfrac{dv}{dt} = g$

Vitesse et position par intégration

$v(t) = g\,t + v_0$

$z(t) = \dfrac{1}{2}g\,t^2 + v_0\,t + z_0$

$v_0$ est la vitesse initiale projetée sur l'axe descendant (nulle si le solide est simplement lâché) et $z_0$ la position initiale. Ces deux expressions s'obtiennent par intégration successive de $dv/dt = g$ .

Relation vitesse-hauteur

$v^2 = v_0^2 + 2g(z-z_0)$

Obtenue en éliminant t entre v(t) et z(t), cette relation ne fait plus intervenir le temps. Pour une chute sans vitesse initiale ( $v_0 = 0$ , $z_0 = 0$ ) sur une hauteur h, elle se réduit à $v^2 = 2gh$ .

Erreurs fréquentes

Confondre les hypothèses de la chute libre (seul le poids agit, frottements et poussée d'Archimède négligés) avec une chute réelle freinée par l'air.

Se tromper de signe en changeant la convention d'axe : avec un axe vertical descendant, l'accélération projetée vaut g ; avec un axe vertical ascendant, elle vaut −g.

Confondre la relation vitesse-hauteur, valable à tout instant sans référence au temps, avec les expressions temporelles v(t) et z(t).

Oublier une vitesse initiale non nulle quand l'énoncé précise que le solide est lancé, et non simplement lâché.

Croire que la masse du solide influence son accélération en chute libre : la masse se simplifie dans la relation fondamentale de la dynamique, donc a = g quelle que soit la masse.

Exemple corrigé — Chute libre sans vitesse initiale

Énoncé

Un solide est lâché sans vitesse initiale d'une hauteur $h = 20\ \text{m}$ au-dessus du sol. On néglige les frottements de l'air et la poussée d'Archimède ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ). 1) Établir les expressions de v(t) et z(t) (axe vertical descendant, origine au point de lâcher). 2) Calculer la durée de la chute. 3) Calculer la vitesse du solide à l'arrivée au sol.

Correction

1) Seul le poids agit (chute libre) : $m\vec{a} = m\vec{g}$ , donc $a = g$ . En projection sur l'axe vertical descendant : $\dfrac{dv}{dt} = g$ . Avec $v_0 = 0$ et $z_0 = 0$ : $v(t) = g\,t$ et $z(t) = \dfrac{1}{2}g\,t^2$ .

2) Le sol est atteint quand $z(t) = h$ : $\dfrac{1}{2}g\,t^2 = h \Rightarrow t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2\times 20}{9{,}8}} = \sqrt{4{,}08} \approx 2{,}0\ \text{s}$ .

3) $v = g\,t = 9{,}8\times 2{,}0 \approx 19{,}8\ \text{m/s}$ (soit environ 20 m/s). On peut vérifier avec $v^2 = 2gh = 2\times 9{,}8\times 20 = 392$ , donc $v = \sqrt{392} \approx 19{,}8\ \text{m/s}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Une bille est lâchée sans vitesse initiale d'une hauteur $h = 5{,}0\ \text{m}$ . On néglige les frottements de l'air. Calculer la durée de la chute et la vitesse d'arrivée au sol. On prendra $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ .

Voir la correction

$t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2\times 5{,}0}{9{,}8}} = \sqrt{1{,}02} \approx 1{,}0\ \text{s}$ . $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\times 9{,}8\times 5{,}0} = \sqrt{98} \approx 9{,}9\ \text{m/s}$ .

Exercice 2

Moyen

Une pierre est lancée verticalement vers le bas avec une vitesse initiale $v_0 = 3{,}0\ \text{m/s}$ , depuis une hauteur $h = 40\ \text{m}$ . On néglige les frottements. Calculer la vitesse d'arrivée au sol, puis la durée de la chute. On prendra $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ .

Voir la correction

$v^2 = v_0^2 + 2gh = (3{,}0)^2 + 2\times 9{,}8\times 40 = 9{,}0 + 784 = 793$ , donc $v = \sqrt{793} \approx 28\ \text{m/s}$ . Puis $t = \dfrac{v - v_0}{g} = \dfrac{28 - 3{,}0}{9{,}8} \approx 2{,}6\ \text{s}$ .

Exercice 3

Difficile

Un solide de masse $m = 200\ \text{g}$ est lâché sans vitesse initiale d'une hauteur H, et atteint le sol avec une vitesse $v = 14\ \text{m/s}$ . On néglige les frottements ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ). 1) Calculer la hauteur de chute H. 2) Calculer la durée de la chute. 3) Calculer la vitesse du solide lorsqu'il a parcouru la moitié de la hauteur H. 4) Le résultat de la question 1 dépend-il de la masse m = 200 g ? Justifier.

Voir la correction

1) $v^2 = 2gH \Rightarrow H = \dfrac{v^2}{2g} = \dfrac{14^2}{2\times 9{,}8} = \dfrac{196}{19{,}6} = 10{,}0\ \text{m}$ . 2) Sans vitesse initiale, $v = g\,t \Rightarrow t = \dfrac{v}{g} = \dfrac{14}{9{,}8} \approx 1{,}4\ \text{s}$ . 3) À mi-hauteur, $z = H/2 = 5{,}0\ \text{m}$ : $v_{1/2} = \sqrt{2g\times 5{,}0} = \sqrt{98} \approx 9{,}9\ \text{m/s}$ . 4) Non : d'après la 2e loi de Newton, $m\,a = m\,g$ (seul le poids agit), donc $a = g$ quelle que soit la masse — elle se simplifie et n'intervient dans aucun des résultats précédents.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que la chute libre au sens de ce chapitre ?

C'est un mouvement où le solide n'est soumis qu'à son poids : on néglige les frottements de l'air et la poussée d'Archimède. Dans ces conditions, d'après la deuxième loi de Newton, l'accélération du centre d'inertie est constante et égale à g, quelle que soit la masse du solide.

Pourquoi l'accélération en chute libre ne dépend-elle pas de la masse du solide ?

D'après la deuxième loi de Newton, m·a = P = m·g, donc a = g : la masse se simplifie de part et d'autre de l'égalité. Tous les corps en chute libre, en l'absence de frottement, ont la même accélération, quelle que soit leur masse.

Comment retrouve-t-on la relation v² = v0² + 2g(z − z0) sans utiliser le temps ?

En éliminant le temps t entre v(t) = g·t + v0 et z(t) = ½g·t² + v0·t + z0, on obtient cette relation indépendante du temps — pratique lorsque seule la distance parcourue est connue, sans information sur la durée.