Atome et Mécanique de Newton — Champ Électrique, Déviation, Exercices (Bac SMA)

Q: Pourquoi une particule chargée entrant perpendiculairement au champ électrique décrit-elle une trajectoire parabolique ?

Parce que le mouvement se décompose en deux directions indépendantes : selon l'axe de la vitesse initiale, aucune force n'agit donc le mouvement est rectiligne uniforme ; selon l'axe du champ, la force électrique constante impose une accélération constante, donc un mouvement uniformément accéléré. En combinant les deux équations horaires, on obtient une position perpendiculaire proportionnelle au carré de la position parallèle : une parabole, comme pour un projectile dans le champ de pesanteur.

Q: Le champ électrique entre les plaques d'un condensateur dépend-il de la charge de la particule qui y pénètre ?

Non. Le champ E = U/d ne dépend que de la tension appliquée et de la distance entre les plaques du condensateur : c'est une caractéristique du condensateur, indépendante de la particule. Seules la force électrique et l'accélération qui en résultent dépendent de la charge et de la masse de la particule considérée.

Q: Quelle est la différence entre ce mouvement et un mouvement de projectile classique ?

Les deux mouvements sont mathématiquement analogues (une force constante s'exerçant sur une particule ayant une vitesse initiale), mais ici la force responsable est la force électrique, dont l'intensité et le sens dépendent de la charge de la particule et du sens du champ, contrairement au poids qui est toujours dirigé vers le bas.

Objectifs d'apprentissage

Décrire la force électrique exercée sur une particule chargée par un champ électrique uniforme
Exprimer le champ électrique uniforme entre les plaques d'un condensateur plan en fonction de la tension appliquée et de la distance entre les plaques
Appliquer la deuxième loi de Newton (relation fondamentale de la dynamique) à une particule chargée soumise à un champ électrique uniforme
Établir la nature du mouvement, rectiligne uniformément varié ou parabolique, selon la direction de la vitesse initiale par rapport au champ
Établir l'équation de la trajectoire d'une particule chargée pénétrant perpendiculairement au champ électrique
Reconnaître l'analogie entre ce mouvement et un mouvement de projectile dans le champ de pesanteur
Relier ces résultats au principe historique de la déviation électronique dans un tube cathodique

Formules et résultats clés

Champ électrique uniforme entre les plaques

$E = \dfrac{U}{d}$

U est la tension appliquée entre les plaques (en V) et d la distance qui les sépare (en m). Le champ E (en V/m) est uniforme entre les plaques d'un condensateur plan, dirigé de la plaque positive vers la plaque négative.

Force électrique et deuxième loi de Newton

Une particule de charge q placée dans ce champ subit une force électrique $\vec{F} = q\vec{E}$ (de même sens que $\vec{E}$ si $q>0$ , de sens opposé si $q<0$ ). En négligeant le poids devant cette force (cas courant pour un électron ou un proton), la deuxième loi de Newton donne une accélération constante, car E est uniforme :

$\vec{a} = \dfrac{q}{m}\vec{E}$

Nature du mouvement selon la vitesse initiale

Si la vitesse initiale $\vec{v_0}$ est parallèle (ou antiparallèle) au champ $\vec{E}$ , l'accélération est colinéaire à la vitesse : le mouvement est rectiligne uniformément accéléré ou décéléré, comme pour toute chute libre à une dimension.

Si $\vec{v_0}$ est perpendiculaire à $\vec{E}$ , le mouvement se décompose en un axe (x) sans force, où la vitesse reste constante, et un axe (y) parallèle au champ, uniformément accéléré. En éliminant le temps entre $x(t)$ et $y(t)$ , la trajectoire est une parabole :

$y(x) = \dfrac{qE}{2mv_0^2}\,x^2$

Analogie et cadre historique

Ce mouvement parabolique est l'exact analogue d'un mouvement de projectile dans le champ de pesanteur (déjà étudié dans le chapitre sur les mouvements plans), la force électrique remplaçant simplement le poids. C'est ce principe de déviation électronique qui est à la base du tube cathodique, historiquement utilisé dans les oscilloscopes et les anciens écrans de télévision.

Erreurs fréquentes

Confondre le sens du champ électrique, dirigé de la plaque positive vers la plaque négative, avec le sens de la force électrique sur une charge négative, qui lui est opposé.

Oublier que le champ électrique n'existe, uniforme, qu'entre les plaques du condensateur : à l'extérieur, plus aucune force n'agit et le mouvement redevient rectiligne uniforme.

Confondre le cas où la vitesse initiale est parallèle au champ, qui donne un mouvement rectiligne uniformément varié, avec le cas où elle est perpendiculaire, qui donne une trajectoire parabolique : les équations horaires ne sont pas les mêmes.

Oublier de vérifier que la déviation calculée reste inférieure à la moitié de l'écartement des plaques, sous peine de conclure à tort que la particule sort du condensateur sans heurter une plaque.

Confondre la masse et la charge de la particule dans le calcul de l'accélération : une erreur de signe ou d'unité entre les deux change complètement le résultat.

Exemple corrigé — Déviation d'un électron

Énoncé

Un électron (masse $m_e = 9{,}1\times 10^{-31}\ \text{kg}$ , charge $-e$ avec $e=1{,}6\times 10^{-19}\ \text{C}$ ) pénètre entre les plaques d'un condensateur plan, parallèlement à celles-ci, avec une vitesse $v_0 = 2{,}0\times 10^{7}\ \text{m/s}$ . Les plaques, de longueur $L = 8{,}0\ \text{cm}$ et séparées de $d = 4{,}0\ \text{cm}$ , sont soumises à une tension $U = 200\ \text{V}$ . 1) Calculer le champ électrique E entre les plaques. 2) Calculer l'accélération a de l'électron. 3) Calculer la déviation y de l'électron à la sortie des plaques.

Correction

1) $E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{200}{4{,}0\times 10^{-2}} = 5{,}0\times 10^{3}\ \text{V/m}$ .

2) $a = \dfrac{eE}{m_e} = \dfrac{1{,}6\times 10^{-19}\times 5{,}0\times 10^{3}}{9{,}1\times 10^{-31}} \approx 8{,}8\times 10^{14}\ \text{m/s}^2$ .

3) Durée de traversée : $t = \dfrac{L}{v_0} = \dfrac{8{,}0\times 10^{-2}}{2{,}0\times 10^{7}} = 4{,}0\times 10^{-9}\ \text{s}$ . Déviation : $y = \dfrac{1}{2}at^2 = 0{,}5\times 8{,}8\times 10^{14}\times (4{,}0\times 10^{-9})^2 \approx 7{,}0\times 10^{-3}\ \text{m} = 7{,}0\ \text{mm}$ , ce qui reste inférieur à $d/2 = 2{,}0\ \text{cm}$ : l'électron sort donc bien du condensateur sans heurter une plaque.

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un condensateur plan a des plaques séparées par une distance $d = 5{,}0\ \text{mm}$ , soumises à une tension $U = 1000\ \text{V}$ . Calculer le champ électrique E entre les plaques, puis la force électrique exercée sur un proton (charge $q = e = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{C}$ ) placé entre elles.

Voir la correction

$E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{1000}{5{,}0\times 10^{-3}} = 2{,}0\times 10^{5}\ \text{V/m}$ . $F = qE = 1{,}6\times 10^{-19}\times 2{,}0\times 10^{5} = 3{,}2\times 10^{-14}\ \text{N}$ .

Exercice 2

Moyen

Un proton (masse $m = 1{,}67\times 10^{-27}\ \text{kg}$ , charge $e = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{C}$ ) part sans vitesse initiale d'une plaque et se déplace parallèlement au champ jusqu'à l'autre plaque, distante de $d = 2{,}0\ \text{cm}$ , sous une tension $U = 500\ \text{V}$ . Calculer sa vitesse à l'arrivée sur la seconde plaque.

Voir la correction

$E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{500}{2{,}0\times 10^{-2}} = 2{,}5\times 10^{4}\ \text{V/m}$ . $a = \dfrac{eE}{m} = \dfrac{1{,}6\times 10^{-19}\times 2{,}5\times 10^{4}}{1{,}67\times 10^{-27}} \approx 2{,}4\times 10^{12}\ \text{m/s}^2$ . Mouvement rectiligne uniformément accéléré à partir du repos : $v^2 = 2ad = 2\times 2{,}4\times 10^{12}\times 2{,}0\times 10^{-2} \approx 9{,}6\times 10^{10}$ , donc $v \approx 3{,}1\times 10^{5}\ \text{m/s}$ .

Exercice 3

Difficile

Un électron (masse $m_e = 9{,}1\times 10^{-31}\ \text{kg}$ , charge $-e$ avec $e = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{C}$ ) pénètre entre deux plaques parallèles, parallèlement à celles-ci, avec une vitesse $v_0 = 1{,}0\times 10^{7}\ \text{m/s}$ . Les plaques ont une longueur $L = 4{,}0\ \text{cm}$ , sont séparées de $d = 2{,}0\ \text{cm}$ et soumises à une tension $U = 150\ \text{V}$ . 1) Calculer le champ électrique E et l'accélération a de l'électron. 2) L'électron sort-il du condensateur, ou heurte-t-il une plaque avant la sortie ? Si oui, à quelle distance x de l'entrée ?

Voir la correction

1) $E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{150}{2{,}0\times 10^{-2}} = 7{,}5\times 10^{3}\ \text{V/m}$ . $a = \dfrac{eE}{m_e} = \dfrac{1{,}6\times 10^{-19}\times 7{,}5\times 10^{3}}{9{,}1\times 10^{-31}} \approx 1{,}32\times 10^{15}\ \text{m/s}^2$ . 2) La déviation maximale admissible avant de heurter une plaque est $d/2 = 1{,}0\times 10^{-2}\ \text{m}$ . À la sortie ( $x=L$ ), la déviation serait $y = \dfrac{a L^2}{2v_0^2} = \dfrac{1{,}32\times 10^{15}\times (4{,}0\times 10^{-2})^2}{2\times (1{,}0\times 10^{7})^2} \approx 1{,}05\times 10^{-2}\ \text{m}$ , ce qui dépasse $d/2$ : l'électron heurte donc une plaque avant la sortie. La position de l'impact vérifie $y = d/2$ , soit $x = \sqrt{\dfrac{2v_0^2 (d/2)}{a}} = \sqrt{\dfrac{2\times (1{,}0\times 10^{7})^2\times 1{,}0\times 10^{-2}}{1{,}32\times 10^{15}}} \approx 3{,}9\times 10^{-2}\ \text{m} \approx 3{,}9\ \text{cm}$ , soit un peu avant la fin des plaques (4,0 cm).

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Pourquoi une particule chargée entrant perpendiculairement au champ électrique décrit-elle une trajectoire parabolique ?

Parce que le mouvement se décompose en deux directions indépendantes : selon l'axe de la vitesse initiale, aucune force n'agit donc le mouvement est rectiligne uniforme ; selon l'axe du champ, la force électrique constante impose une accélération constante, donc un mouvement uniformément accéléré. En combinant les deux équations horaires, on obtient une position perpendiculaire proportionnelle au carré de la position parallèle : une parabole, comme pour un projectile dans le champ de pesanteur.

Le champ électrique entre les plaques d'un condensateur dépend-il de la charge de la particule qui y pénètre ?

Non. Le champ E = U/d ne dépend que de la tension appliquée et de la distance entre les plaques du condensateur : c'est une caractéristique du condensateur, indépendante de la particule. Seules la force électrique et l'accélération qui en résultent dépendent de la charge et de la masse de la particule considérée.

Quelle est la différence entre ce mouvement et un mouvement de projectile classique ?

Les deux mouvements sont mathématiquement analogues (une force constante s'exerçant sur une particule ayant une vitesse initiale), mais ici la force responsable est la force électrique, dont l'intensité et le sens dépendent de la charge de la particule et du sens du champ, contrairement au poids qui est toujours dirigé vers le bas.