Aspects Énergétiques des Oscillations Mécaniques — Cours (Bac SMA)

Objectifs d'apprentissage

Définir l'énergie mécanique d'un système oscillant comme la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle
Exprimer l'énergie potentielle élastique emmagasinée dans un ressort en fonction de sa raideur et de l'élongation
Démontrer que l'énergie mécanique se conserve en l'absence de frottement
Identifier les instants où l'énergie cinétique est maximale et ceux où l'énergie potentielle élastique est maximale
Exprimer l'énergie mécanique maximale en fonction de l'amplitude des oscillations
Décrire qualitativement la dissipation progressive de l'énergie mécanique dans un oscillateur réel amorti

Formules et résultats clés

Énergie mécanique

$E_m = E_c + E_p$

Pour un pendule élastique horizontal : $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$ (énergie cinétique) et $E_p = \dfrac{1}{2}kx^2$ (énergie potentielle élastique, emmagasinée dans le ressort déformé). En l'absence de frottement, la seule force qui travaille est la force de rappel élastique, une force conservative : l'énergie mécanique se conserve au cours du temps.

Énergie mécanique maximale

$E_m = \dfrac{1}{2}kX_m^2 = \dfrac{1}{2}m\omega_0^2X_m^2$

$X_m$ est l'amplitude des oscillations. Les deux écritures sont équivalentes puisque $k = m\omega_0^2$ .

Échange entre les deux formes d'énergie

Au passage par la position d'équilibre (x = 0), la vitesse est maximale : l'énergie cinétique est maximale et vaut $E_m$ , l'énergie potentielle élastique est nulle. Aux positions d'élongation maximale (x = ±Xm), la vitesse s'annule : l'énergie potentielle élastique est maximale et vaut $E_m$ , l'énergie cinétique est nulle. Entre ces deux instants, les deux formes d'énergie s'échangent continuellement, leur somme restant constante.

Oscillateur réel amorti

En présence de frottements, l'énergie mécanique n'est plus constante : elle diminue progressivement, dissipée sous forme de chaleur. L'amplitude des oscillations décroît alors cycle après cycle — un comportement analogue au régime pseudo-périodique déjà observé pour le circuit RLC amorti.

Erreurs fréquentes

Croire que l'énergie mécanique reste constante même en présence de frottements : elle ne se conserve que pour un oscillateur idéal, non amorti.

Confondre les deux instants extrêmes : l'énergie cinétique est maximale à l'équilibre (élongation nulle, vitesse maximale), pas à l'élongation maximale.

Oublier que la raideur k est reliée à la pulsation propre par k = m·ω0², ce qui permet de réécrire l'énergie mécanique maximale en fonction de ω0 quand k n'est pas donné directement.

Utiliser l'énergie cinétique ou l'énergie potentielle instantanée comme si elle était l'énergie mécanique : c'est leur somme qui reste constante, chacune variant séparément au cours du temps.

Oublier d'élever au carré l'élongation ou la vitesse dans les expressions de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique.

Exemple corrigé — Bilan énergétique d'un pendule élastique

Énoncé

Un pendule élastique horizontal, sans frottement, est constitué d'une masse $m = 200\ \text{g}$ fixée à un ressort de raideur $k = 20\ \text{N/m}$ . Il oscille avec une amplitude $X_m = 5{,}0\ \text{cm}$ . 1) Calculer l'énergie mécanique $E_m$ du système. 2) Calculer la vitesse de la masse lorsqu'elle passe par la position d'équilibre. 3) Calculer la vitesse de la masse lorsque son élongation vaut $x = 3{,}0\ \text{cm}$ .

Correction

1) $E_m = \dfrac{1}{2}kX_m^2 = 0{,}5\times 20\times (0{,}050)^2 = 10\times 2{,}5\times 10^{-3} = 0{,}025\ \text{J} = 25\ \text{mJ}$ .

2) À l'équilibre, $x = 0$ donc $E_p = 0$ et $E_c = E_m$ : $\dfrac{1}{2}mv^2 = 0{,}025 \Rightarrow v = \sqrt{2\times 0{,}025/0{,}200} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}50\ \text{m/s}$ .

3) $E_p = \dfrac{1}{2}kx^2 = 0{,}5\times 20\times (0{,}030)^2 = 10\times 9{,}0\times 10^{-4} = 9{,}0\times 10^{-3}\ \text{J}$ . $E_c = E_m - E_p = 0{,}025 - 0{,}009 = 0{,}016\ \text{J}$ . $v = \sqrt{2E_c/m} = \sqrt{2\times 0{,}016/0{,}200} = \sqrt{0{,}16} = 0{,}40\ \text{m/s}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un pendule élastique horizontal, sans frottement, est constitué d'une masse $m = 500\ \text{g}$ fixée à un ressort de raideur $k = 50\ \text{N/m}$ . L'amplitude des oscillations vaut $X_m = 2{,}0\ \text{cm}$ . Calculer l'énergie mécanique maximale du système.

Voir la correction

$E_m = \dfrac{1}{2}kX_m^2 = 0{,}5\times 50\times (0{,}020)^2 = 25\times 4{,}0\times 10^{-4} = 1{,}0\times 10^{-2}\ \text{J} = 10\ \text{mJ}$ .

Exercice 2

Moyen

Pour le même pendule ( $m = 500\ \text{g}$ , $k = 50\ \text{N/m}$ , $X_m = 2{,}0\ \text{cm}$ , $E_m = 10\ \text{mJ}$ ), calculer l'énergie potentielle élastique, l'énergie cinétique et la vitesse de la masse lorsque son élongation vaut $x = 1{,}0\ \text{cm}$ .

Voir la correction

$E_p = \dfrac{1}{2}kx^2 = 0{,}5\times 50\times (0{,}010)^2 = 2{,}5\times 10^{-3}\ \text{J} = 2{,}5\ \text{mJ}$ . $E_c = E_m - E_p = 10 - 2{,}5 = 7{,}5\ \text{mJ}$ . $v = \sqrt{\dfrac{2E_c}{m}} = \sqrt{\dfrac{2\times 7{,}5\times 10^{-3}}{0{,}500}} = \sqrt{0{,}030} \approx 0{,}17\ \text{m/s}$ .

Exercice 3

Difficile

Un pendule élastique horizontal, sans frottement, de masse $m = 0{,}40\ \text{kg}$ et de raideur $k = 40\ \text{N/m}$ , est écarté de $x_0 = 6{,}0\ \text{cm}$ de sa position d'équilibre puis lâché sans vitesse initiale. 1) Calculer l'énergie mécanique $E_m$ du système. 2) Calculer la vitesse maximale $v_{max}$ atteinte, et préciser en quelle position. 3) Déterminer l'élongation x pour laquelle l'énergie cinétique vaut 3 fois l'énergie potentielle élastique ( $E_c = 3E_p$ ). 4) En présence de faibles frottements, que deviennent $E_m$ et l'amplitude au cours du temps ? Relier ce comportement au régime déjà étudié pour le circuit RLC.

Voir la correction

1) Lâché sans vitesse initiale, l'amplitude vaut $X_m = x_0 = 6{,}0\ \text{cm}$ : $E_m = \dfrac{1}{2}kX_m^2 = 0{,}5\times 40\times (0{,}060)^2 = 20\times 3{,}6\times 10^{-3} = 0{,}072\ \text{J} = 72\ \text{mJ}$ . 2) $v_{max}$ est atteinte au passage par l'équilibre (x = 0), où $E_c = E_m$ : $v_{max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{2\times 0{,}072/0{,}40} = \sqrt{0{,}36} = 0{,}60\ \text{m/s}$ . 3) $E_c = 3E_p$ et $E_m = E_c+E_p = 4E_p$ , donc $E_p = E_m/4 = 18\ \text{mJ}$ . $E_p = \dfrac{1}{2}kx^2 \Rightarrow x = \sqrt{2E_p/k} = \sqrt{2\times 0{,}018/40} = \sqrt{9{,}0\times 10^{-4}} = 3{,}0\times 10^{-2}\ \text{m}$ , soit $x = \pm 3{,}0\ \text{cm}$ . 4) Avec de faibles frottements, $E_m$ diminue progressivement (dissipée en chaleur) et l'amplitude décroît cycle après cycle : c'est l'équivalent mécanique du régime pseudo-périodique déjà observé pour le circuit RLC amorti.

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Questions fréquentes

Pourquoi l'énergie mécanique est-elle constante pour un oscillateur non amorti ?

En l'absence de frottement, la seule force qui travaille au cours du mouvement est la force de rappel élastique, une force conservative. L'énergie cinétique et l'énergie potentielle élastique s'échangent continuellement, mais leur somme, l'énergie mécanique, reste constante.

À quels instants l'énergie cinétique est-elle maximale, et l'énergie potentielle élastique ?

L'énergie cinétique est maximale, et l'énergie potentielle élastique nulle, au passage par la position d'équilibre, où la vitesse est maximale. L'énergie potentielle élastique est maximale, et l'énergie cinétique nulle, aux positions d'élongation maximale, où la vitesse s'annule.

Que devient l'énergie mécanique d'un oscillateur réel, en présence de frottements ?

Elle diminue progressivement au cours du temps : l'énergie est dissipée sous forme de chaleur par les frottements, et l'amplitude des oscillations décroît cycle après cycle — un comportement analogue au régime pseudo-périodique déjà observé pour le circuit RLC amorti.