Théorème de Rolle et TAF — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Q: Quelle est la différence entre le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis ?

Le théorème de Rolle est un cas particulier du TAF : il exige en plus que f(a) = f(b), et conclut à l'existence d'un c tel que f'(c) = 0. Le TAF est plus général — sans condition sur f(a) et f(b) — et conclut que f(b) − f(a) = f'(c)(b − a) pour un certain c.

Q: Quelles hypothèses faut-il vérifier avant d'appliquer le théorème de Rolle ou le TAF ?

Dans les deux cas : f doit être continue sur l'intervalle fermé [a,b] et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a,b[. Pour Rolle, il faut en plus vérifier f(a) = f(b). Oublier de vérifier l'une de ces hypothèses invalide toute la démonstration.

Q: Le théorème des accroissements finis (TAF) est-il souvent utilisé au Bac Maroc SMA ?

Oui, c'est un outil classique pour deux types d'exercices : déterminer la valeur explicite du réel c sur un exemple simple, et établir des encadrements ou inégalités — un type d'exercice récurrent dans les sujets d'examen national et régional.

Objectifs d'apprentissage

Énoncer et appliquer le théorème de Rolle sur un intervalle donné
Vérifier les hypothèses de continuité et de dérivabilité avant d'appliquer un théorème
Énoncer et appliquer le théorème des accroissements finis (TAF)
Comprendre que le théorème de Rolle est un cas particulier du TAF
Utiliser le TAF pour établir des encadrements et des inégalités
Déterminer la valeur numérique du réel c donné par le TAF sur un exemple concret

Formules et résultats clés

Théorème de Rolle

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ , dérivable sur $]a,b[$ , et si $f(a) = f(b)$ , alors il existe $c \in \,]a,b[$ tel que $f'(c) = 0$ .

Théorème des accroissements finis (TAF)

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$ , alors il existe $c \in \,]a,b[$ tel que $f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)$ .

Le TAF généralise Rolle

Quand $f(a) = f(b)$ , le TAF donne directement $f'(c)(b-a) = 0$ , donc $f'(c) = 0$ puisque $b \neq a$ : on retrouve exactement la conclusion de Rolle. Rolle est donc le cas particulier du TAF où $f(a) = f(b)$ .

Applications typiques : encadrements

Si $m \le f'(x) \le M$ pour tout $x \in \,]a,b[$ , alors $m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier les hypothèses — continuité sur le fermé [a,b] ET dérivabilité sur l'ouvert ]a,b[ — avant de conclure.

Confondre Rolle (cas particulier nécessitant f(a) = f(b)) avec le TAF (cas général, sans condition sur f(a) et f(b)).

Oublier que le réel c donné par ces théorèmes correspond seulement à une existence — pas forcément unique — et que son existence n'implique pas toujours qu'on puisse le calculer explicitement.

Appliquer le théorème sur un intervalle où f n'est pas dérivable en un point (par exemple un point anguleux, ou une racine carrée en 0).

Exemple corrigé — Application du TAF

Énoncé

En appliquant le théorème des accroissements finis à $f(x) = \sqrt{x}$ sur l'intervalle $[4,9]$ , déterminer la valeur exacte du réel $c$ .

Correction

$f$ est continue sur $[4,9]$ et dérivable sur $]4,9[$ , avec $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .

D'après le TAF, il existe $c \in \,]4,9[$ tel que $f(9) - f(4) = f'(c)(9-4)$ .

Or $f(9) = 3$ et $f(4) = 2$ , donc $3 - 2 = \dfrac{1}{2\sqrt{c}} \times 5$ , soit $1 = \dfrac{5}{2\sqrt{c}}$ .

On résout : $2\sqrt{c} = 5 \Rightarrow \sqrt{c} = 2{,}5 \Rightarrow c = 6{,}25$ . On vérifie bien $4 < 6{,}25 < 9$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ sur $[1,3]$ . Vérifier que les hypothèses du théorème de Rolle sont satisfaites, puis déterminer le réel $c$ tel que $f'(c) = 0$ .

Voir la correction

$f$ est un polynôme, donc continue sur $[1,3]$ et dérivable sur $]1,3[$ . $f(1) = 1-4+3 = 0$ et $f(3) = 9-12+3 = 0$ , donc $f(1) = f(3)$ : les hypothèses de Rolle sont satisfaites. $f'(x) = 2x-4$ . $f'(c) = 0 \Rightarrow 2c-4=0 \Rightarrow c=2$ . On vérifie bien $1 < 2 < 3$ .

Exercice 2

Moyen

Soit $f(x) = x^2$ sur $[1,4]$ . Déterminer le réel $c$ donné par le théorème des accroissements finis.

Voir la correction

$f$ est continue sur $[1,4]$ et dérivable sur $]1,4[$ , avec $f'(x) = 2x$ . D'après le TAF, il existe $c \in \,]1,4[$ tel que $f(4)-f(1) = f'(c)(4-1)$ . Or $f(4)-f(1) = 16-1 = 15$ , donc $15 = 3f'(c) \Rightarrow f'(c) = 5 \Rightarrow 2c = 5 \Rightarrow c = 2{,}5$ . On vérifie bien $1 < 2{,}5 < 4$ .

Exercice 3

Application

En utilisant le théorème des accroissements finis appliqué à $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[9,10]$ , montrer que $\sqrt{10} - 3 < \dfrac{1}{6}$ .

Voir la correction

$f(x) = \sqrt{x}$ est continue sur $[9,10]$ et dérivable sur $]9,10[$ , avec $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ . D'après le TAF, il existe $c \in \,]9,10[$ tel que $f(10)-f(9) = f'(c)(10-9)$ , c'est-à-dire $\sqrt{10} - 3 = \dfrac{1}{2\sqrt{c}}$ . Comme $9 < c < 10$ , on a $3 < \sqrt{c}$ , donc $6 < 2\sqrt{c}$ , donc $\dfrac{1}{2\sqrt{c}} < \dfrac{1}{6}$ . On conclut $\sqrt{10} - 3 < \dfrac{1}{6}$ .

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis ?

Le théorème de Rolle est un cas particulier du TAF : il exige en plus que f(a) = f(b), et conclut à l'existence d'un c tel que f'(c) = 0. Le TAF est plus général — sans condition sur f(a) et f(b) — et conclut que f(b) − f(a) = f'(c)(b − a) pour un certain c.

Quelles hypothèses faut-il vérifier avant d'appliquer le théorème de Rolle ou le TAF ?

Dans les deux cas : f doit être continue sur l'intervalle fermé [a,b] et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a,b[. Pour Rolle, il faut en plus vérifier f(a) = f(b). Oublier de vérifier l'une de ces hypothèses invalide toute la démonstration.

Le théorème des accroissements finis (TAF) est-il souvent utilisé au Bac Maroc SMA ?

Oui, c'est un outil classique pour deux types d'exercices : déterminer la valeur explicite du réel c sur un exemple simple, et établir des encadrements ou inégalités — un type d'exercice récurrent dans les sujets d'examen national et régional.