Suites Numériques — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Q: Quelle est la différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique ?

Une suite arithmétique passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même raison r : u_n = u_0 + n r. Une suite géométrique passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par la même raison q : u_n = u_0 × qⁿ. La première évolue de façon linéaire, la seconde de façon exponentielle.

Q: Comment démontrer qu'une suite récurrente converge ?

La méthode classique au Bac : démontrer par récurrence qu'elle est bornée, démontrer qu'elle est monotone (en étudiant le signe de u_{n+1} − u_n), puis appliquer le théorème de la limite monotone (croissante et majorée, ou décroissante et minorée) pour conclure à la convergence. La limite se calcule ensuite en résolvant l'équation l = f(l).

Q: Le théorème de la limite monotone est-il au programme du Bac Maroc SMA ?

Oui, c'est l'outil central des exercices sur les suites récurrentes u_{n+1} = f(u_n), un grand classique quasi systématique des sujets d'examen national et régional en Sciences Mathématiques A.

Objectifs d'apprentissage

Reconnaître une suite arithmétique et une suite géométrique, et calculer leur terme général
Calculer la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique ou géométrique
Étudier le sens de variation d'une suite en étudiant le signe de u_{n+1} − u_n
Démontrer qu'une propriété est vraie pour tout n par récurrence
Appliquer le théorème de la limite monotone pour justifier la convergence d'une suite
Calculer la limite d'une suite récurrente u_{n+1} = f(u_n) en résolvant l = f(l)

Formules et résultats clés

Suite arithmétique (raison additive $r$ )

$u_n = u_0 + n r \qquad S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = \dfrac{n(u_0 + u_{n-1})}{2}$

Suite géométrique (raison multiplicative $q$ )

$u_n = u_0 \times q^n \qquad S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0 \dfrac{1-q^n}{1-q} \ \ (q \neq 1)$

Limites usuelles de $q^n$

q > 1+∞

q = 11

−1 < q < 10

q ≤ −1pas de limite

Suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$

La monotonie s'étudie via le signe de $u_{n+1} - u_n$ , généralement démontré par récurrence en même temps qu'un encadrement de $u_n$ .

Théorème de la limite monotone : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

Une fois la convergence établie, si $f$ est continue en la limite $l$ , alors $l$ vérifie l'équation $l = f(l)$ — c'est ainsi qu'on calcule la valeur de la limite.

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans une démonstration par récurrence — vérifier la propriété au rang 0 est indispensable, pas une simple formalité.

Affirmer la limite d'une suite récurrente sans avoir d'abord démontré sa convergence : il faut appliquer le théorème de la limite monotone avant de résoudre l = f(l).

Utiliser dans une démonstration une propriété qui n'a pas été établie, par exemple supposer que (u_n) est bornée sans le prouver par récurrence.

Confondre « majorée » et « convergente » — une suite croissante majorée converge, mais sa limite n'est pas forcément le majorant utilisé pour la démonstration.

Exemple corrigé — Suite récurrente et convergence

Énoncé

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n+2}{2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . Montrer que $(u_n)$ converge, puis calculer sa limite.

Correction

Étape 1 — Encadrement par récurrence. Montrons que $0 \le u_n \le 2$ pour tout $n$ . Initialisation : $u_0 = 1 \in [0,2]$ . Hérédité : si $0 \le u_n \le 2$ , alors $\dfrac{0+2}{2} \le u_{n+1} \le \dfrac{2+2}{2}$ , soit $1 \le u_{n+1} \le 2$ , donc en particulier $0 \le u_{n+1} \le 2$ .

Étape 2 — Monotonie. $u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n+2}{2} - u_n = \dfrac{2-u_n}{2} \ge 0$ car $u_n \le 2$ . La suite $(u_n)$ est donc croissante.

Étape 3 — Convergence. $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$ , donc, d'après le théorème de la limite monotone, elle converge vers une limite $l$ .

Étape 4 — Calcul de la limite. La fonction $f(x) = \dfrac{x+2}{2}$ est continue, donc $l$ vérifie $l = f(l)$ : $l = \dfrac{l+2}{2} \Rightarrow 2l = l+2 \Rightarrow l = 2$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$ . Calculer $u_{10}$ et la somme $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{10}$ .

Voir la correction

$u_{10} = u_0 + 10r = 5 + 10 \times 3 = 35$ . La somme des 11 premiers termes (de $u_0$ à $u_{10}$ ) vaut $S = \dfrac{11(u_0+u_{10})}{2} = \dfrac{11 \times (5+35)}{2} = \dfrac{11 \times 40}{2} = 220$ .

Exercice 2

Moyen

Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $q = 2$ . Calculer $u_5$ et la somme $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_5$ .

Voir la correction

$u_5 = u_0 \times q^5 = 3 \times 32 = 96$ . La somme des 6 premiers termes vaut $S = u_0 \dfrac{1-q^6}{1-q} = 3 \times \dfrac{1-64}{1-2} = 3 \times \dfrac{-63}{-1} = 3 \times 63 = 189$ .

Exercice 3

Récurrence

Soit $(v_n)$ définie par $v_0 = 5$ et $v_{n+1} = \dfrac{v_n+1}{2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . Montrer que $(v_n)$ est décroissante et minorée par $1$ , en déduire qu'elle converge, puis calculer sa limite.

Voir la correction

Montrons par récurrence que $v_n \ge 1$ pour tout $n$ . Initialisation : $v_0 = 5 \ge 1$ . Hérédité : si $v_n \ge 1$ , alors $v_{n+1} = \dfrac{v_n+1}{2} \ge \dfrac{1+1}{2} = 1$ . Donc $v_n \ge 1$ pour tout $n$ . Ensuite, $v_{n+1} - v_n = \dfrac{v_n+1}{2} - v_n = \dfrac{1-v_n}{2} \le 0$ car $v_n \ge 1$ : la suite est décroissante. Étant décroissante et minorée par $1$ , elle converge (théorème de la limite monotone) vers une limite $l$ qui vérifie $l = \dfrac{l+1}{2}$ , donc $2l = l+1$ , donc $l = 1$ .

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique ?

Une suite arithmétique passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même raison r : u_n = u_0 + n r. Une suite géométrique passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par la même raison q : u_n = u_0 × qⁿ. La première évolue de façon linéaire, la seconde de façon exponentielle.

Comment démontrer qu'une suite récurrente converge ?

La méthode classique au Bac : démontrer par récurrence qu'elle est bornée, démontrer qu'elle est monotone (en étudiant le signe de u_{n+1} − u_n), puis appliquer le théorème de la limite monotone (croissante et majorée, ou décroissante et minorée) pour conclure à la convergence. La limite se calcule ensuite en résolvant l'équation l = f(l).

Le théorème de la limite monotone est-il au programme du Bac Maroc SMA ?

Oui, c'est l'outil central des exercices sur les suites récurrentes u_{n+1} = f(u_n), un grand classique quasi systématique des sujets d'examen national et régional en Sciences Mathématiques A.

Objectifs d'apprentissage

Formules et résultats clés

Suite arithmétique (raison additive rrr)

Suite géométrique (raison multiplicative qqq)

Limites usuelles de qnq^nqn

Suites récurrentes un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​)

Erreurs fréquentes

Exemple corrigé — Suite récurrente et convergence

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique ?

Comment démontrer qu'une suite récurrente converge ?

Le théorème de la limite monotone est-il au programme du Bac Maroc SMA ?

Suite arithmétique (raison additive $r$ )

Suite géométrique (raison multiplicative $q$ )

Limites usuelles de $q^n$

Suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$