Structures Algébriques — Groupes, Anneaux, Corps

$0$ est l'élément neutre car pour tout $a \in \mathbb{R}$, $a + 0 = 0 + a = a$. Le symétrique de $5$ pour $+$ est $-5$, car $5 + (-5) = 0$.

$\times$ est associative sur $\mathbb{R}^*$. L'élément neutre est $1 \in \mathbb{R}^*$, car $a \times 1 = 1 \times a = a$ pour tout $a \in \mathbb{R}^*$. Pour tout $a \in \mathbb{R}^*$, $\dfrac{1}{a} \in \mathbb{R}^*$ vérifie $a \times \dfrac{1}{a} = 1$. Enfin, $\times$ est commutative sur $\mathbb{R}^*$. Les quatre propriétés étant vérifiées, $(\mathbb{R}^*, \times)$ est un groupe commutatif.

$(\mathbb{R},+)$ est un groupe commutatif (voir l'exemple corrigé). La multiplication $\times$ est associative et distributive par rapport à $+$ : $a \times (b+c) = a\times b + a\times c$ pour tous $a,b,c \in \mathbb{R}$, donc $(\mathbb{R},+,\times)$ est un anneau, commutatif car $\times$ est commutative sur $\mathbb{R}$. De plus, tout élément non nul de $\mathbb{R}$ possède un inverse pour $\times$ (à savoir $1/a$). Donc $(\mathbb{R},+,\times)$ est un corps.