Nombres Complexes — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Q: Le chapitre Nombres complexes est-il important pour le Bac SMA ?

Oui, c'est un chapitre central de 2ème Bac Sciences Mathématiques A, souvent lié à la géométrie plane. La résolution d'équations du second degré à discriminant négatif et le passage entre formes algébrique, trigonométrique et exponentielle reviennent presque chaque année dans les sujets d'examen national.

Q: Quelle est la différence entre le module et l'argument d'un nombre complexe ?

Le module |z| est un nombre réel positif : il mesure la distance entre l'origine et le point d'affixe z. L'argument arg(z) est un angle (défini modulo 2π) : il donne la direction du point d'affixe z par rapport à l'axe des réels. Les deux ensemble définissent complètement z sous forme trigonométrique ou exponentielle.

Q: Pourquoi les solutions d'une équation du second degré à coefficients réels et à discriminant négatif sont-elles toujours conjuguées ?

Parce que la formule z = (-b ± i√(-Δ)) / (2a) fait apparaître deux solutions qui ne diffèrent que par le signe de la partie imaginaire, avec a et b réels. Elles ont donc la même partie réelle et des parties imaginaires opposées — ce qui est exactement la définition de deux nombres complexes conjugués.

Objectifs d'apprentissage

Écrire un nombre complexe sous forme algébrique, trigonométrique et exponentielle
Calculer le module et le conjugué d'un nombre complexe
Utiliser les propriétés du module et de l'argument dans un produit de deux complexes
Résoudre dans ℂ une équation du second degré à coefficients réels de discriminant négatif
Reconnaître que les solutions d'une équation à coefficients réels et Δ<0 sont conjuguées
Passer d'une forme à l'autre (algébrique, trigonométrique, exponentielle) selon le contexte

Formules et résultats clés

Forme algébrique

Tout nombre complexe $z$ s'écrit de façon unique sous la forme $z = a + ib$ , avec $a, b \in \mathbb{R}$ . On note $a = \text{Re}(z)$ la partie réelle et $b = \text{Im}(z)$ la partie imaginaire.

Module et conjugué

$|z| = \sqrt{a^2+b^2} \qquad \bar{z} = a - ib \qquad |z|^2 = z \times \bar{z}$

Forme trigonométrique et forme exponentielle

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ , où $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$

Pour un produit de deux nombres complexes, les modules se multiplient et les arguments s'ajoutent :

$|z \times z'| = |z| \times |z'| \qquad \arg(z \times z') = \arg(z) + \arg(z') \ (\text{mod } 2\pi)$

Équation du second degré à discriminant négatif

Si $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ , l'équation $az^2+bz+c=0$ admet deux solutions complexes conjuguées : $z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

Erreurs fréquentes

Erreur de signe en calculant le conjugué : le conjugué de a + ib est a − ib, pas −a + ib ni −a − ib.

Confondre le module (toujours un réel positif) et l'argument (un angle) — ce ne sont pas deux nombres de même nature.

Oublier que pour un trinôme à coefficients réels avec Δ < 0, les deux racines sont nécessairement conjuguées l'une de l'autre — ce n'est pas une coïncidence, c'est une conséquence directe de la formule.

Exemple corrigé — Équation du second degré à discriminant négatif

Énoncé

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - 2z + 5 = 0$ .

Correction

Le discriminant est $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0$ .

Les solutions sont $z = \dfrac{2 \pm i\sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$ .

Donc $S = \{1-2i,\ 1+2i\}$ : deux solutions complexes conjuguées, comme attendu puisque les coefficients de l'équation sont réels.

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Écrire sous forme algébrique le conjugué de $z = 3 - 5i$ , puis calculer $|z|$ .

Voir la correction

Le conjugué de $z = 3 - 5i$ est $\bar z = 3 + 5i$ . Le module est $|z| = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$ .

Exercice 2

Moyen

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 + 2z + 10 = 0$ .

Voir la correction

Le discriminant est $\Delta = 2^2 - 4(1)(10) = 4 - 40 = -36 < 0$ . Les solutions sont $z = \dfrac{-2 \pm i\sqrt{36}}{2} = \dfrac{-2 \pm 6i}{2} = -1 \pm 3i$ . Donc $S = \{-1-3i,\ -1+3i\}$ .

Exercice 3

Module/argument

Déterminer le module et un argument de $z = 1 + i\sqrt{3}$ , puis écrire $z$ sous forme exponentielle.

Voir la correction

$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt3)^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt4 = 2$ . On a $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{\sqrt3}{2}$ , donc $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ . On en déduit la forme exponentielle $z = 2e^{i\pi/3}$ .

3 exercices, c'est un début.

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Le chapitre Nombres complexes est-il important pour le Bac SMA ?

Oui, c'est un chapitre central de 2ème Bac Sciences Mathématiques A, souvent lié à la géométrie plane. La résolution d'équations du second degré à discriminant négatif et le passage entre formes algébrique, trigonométrique et exponentielle reviennent presque chaque année dans les sujets d'examen national.

Quelle est la différence entre le module et l'argument d'un nombre complexe ?

Le module |z| est un nombre réel positif : il mesure la distance entre l'origine et le point d'affixe z. L'argument arg(z) est un angle (défini modulo 2π) : il donne la direction du point d'affixe z par rapport à l'axe des réels. Les deux ensemble définissent complètement z sous forme trigonométrique ou exponentielle.

Pourquoi les solutions d'une équation du second degré à coefficients réels et à discriminant négatif sont-elles toujours conjuguées ?

Parce que la formule z = (-b ± i√(-Δ)) / (2a) fait apparaître deux solutions qui ne diffèrent que par le signe de la partie imaginaire, avec a et b réels. Elles ont donc la même partie réelle et des parties imaginaires opposées — ce qui est exactement la définition de deux nombres complexes conjugués.