Fonctions Primitives — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Objectifs d'apprentissage

Reconnaître qu'une fonction F est une primitive de f sur un intervalle I
Utiliser le tableau des primitives usuelles pour déterminer une primitive
Déterminer l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction sur un intervalle
Calculer la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x0) = y0
Reconnaître les formes u'e^u, u'/u et u'u^n pour appliquer les formules composées
Préciser systématiquement l'intervalle I de validité d'une primitive

Formules et résultats clés

Définition

$F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si $F' = f$ sur $I$ .

Si $F_0$ est une primitive de $f$ sur $I$ , alors toutes les primitives de $f$ sur $I$ sont de la forme $F_0 + C$ , où $C$ est une constante réelle.

Primitives usuelles

$x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \ (n \neq -1) \qquad \dfrac{1}{x} \to \ln|x| \qquad u'e^u \to e^u \qquad \dfrac{u'}{u} \to \ln|u| \qquad u' u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$

Déterminer la primitive vérifiant une condition initiale

Méthode : déterminer d'abord l'expression générale des primitives de $f$ avec la constante $C$ , puis remplacer $x$ par $x_0$ et poser $F(x_0) = y_0$ pour résoudre et trouver la valeur exacte de $C$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante d'intégration C — deux primitives de f sur I diffèrent toujours d'une constante.

Erreur dans les formules usuelles, par exemple écrire la primitive de 1/x comme ln(x) au lieu de ln|x|.

Ne pas préciser l'intervalle I de validité de la primitive — une primitive de 1/x n'est valable que sur un intervalle ne contenant pas 0.

Confondre les formules composées u'e^u, u'/u et u'u^n : appliquer la mauvaise formule quand u' n'apparaît pas explicitement en facteur.

Exemple corrigé — Primitive avec condition initiale

Énoncé

Trouver la primitive $F$ de $f(x) = 2x+3$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0) = 1$ .

Correction

Les primitives générales de $f$ sur $\mathbb{R}$ sont $F(x) = x^2 + 3x + C$ , où $C$ est une constante réelle.

La condition $F(0) = 1$ donne $0^2 + 3 \times 0 + C = 1$ , soit $C = 1$ .

La primitive cherchée est donc $F(x) = x^2 + 3x + 1$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Déterminer les primitives de $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la correction

On applique la formule $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ terme à terme : une primitive de $3x^2$ est $x^3$ , une primitive de $-4x$ est $-2x^2$ , une primitive de $5$ est $5x$ . Les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ sont donc $F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + C$ , $C \in \mathbb{R}$ .

Exercice 2

Moyen

Déterminer la primitive F de $f(x) = 4x^3 - 6x$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(1) = 5$ .

Voir la correction

Les primitives générales de $f$ sont $F(x) = x^4 - 3x^2 + C$ . La condition $F(1) = 5$ donne $1 - 3 + C = 5$ , soit $C - 2 = 5$ , donc $C = 7$ . La primitive cherchée est $F(x) = x^4 - 3x^2 + 7$ .

Exercice 3

Composée

Déterminer une primitive de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la correction

On pose $u(x) = x^2+1$ , donc $u'(x) = 2x$ . On reconnaît la forme $\dfrac{u'}{u}$ , dont une primitive est $\ln|u|$ . Comme $x^2+1 > 0$ pour tout $x$ , une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $F(x) = \ln(x^2+1)$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Pourquoi ajoute-t-on toujours une constante C aux primitives ?

Parce que la dérivée d'une constante est nulle : si F est une primitive de f, alors F + C l'est aussi pour tout réel C. Réciproquement, deux primitives de f sur le même intervalle diffèrent toujours d'une constante — c'est pourquoi on parle « des » primitives de f, et non d'« une » seule primitive.

Quelle est la primitive de 1/x ?

C'est ln|x|, avec la valeur absolue — car ln n'est défini que sur les réels strictement positifs, alors que 1/x est défini sur ℝ* tout entier. La primitive ln|x| est donc valable séparément sur ]0,+∞[ et sur ]−∞,0[, mais pas sur un intervalle qui contiendrait 0.

Comment reconnaître les formes composées u'e^u, u'/u et u'u^n ?

On identifie d'abord la fonction intérieure u, puis on vérifie si sa dérivée u' apparaît (éventuellement à une constante multiplicative près) en facteur dans l'expression. Si c'est le cas, on applique la formule correspondante et on ajuste par la constante manquante si besoin.