Fonctions Exponentielles — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Objectifs d'apprentissage

Connaître le domaine de définition de $e^x$ sur $\mathbb{R}$ et la valeur particulière $e^0=1$
Utiliser les propriétés algébriques de l'exponentielle pour transformer une expression
Dériver une fonction contenant $e^x$ ou une composée $e^u$
Résoudre une équation ou une inéquation contenant des exponentielles, avec changement de variable si besoin
Calculer les limites de $e^x$ en $-\infty$ et en $+\infty$ , et appliquer les croissances comparées
Utiliser la réciprocité entre exponentielle et logarithme népérien

Formules et résultats clés

Définition et valeurs particulières

La fonction exponentielle, notée $e^x$ ou $\exp(x)$ , est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.

$e^0 = 1$

Propriétés algébriques

Pour tous $a, b \in \mathbb{R}$ :

$e^{a+b} = e^a \times e^b \qquad e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$

Dérivée

$(e^x)' = e^x \qquad$ et pour une composée : $\qquad (e^u)' = u' \times e^u$

Limites et croissances comparées

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ . Croissances comparées : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} x \, e^x = 0$ .

Réciprocité avec le logarithme

$e^x$ et $\ln(x)$ sont des fonctions réciproques l'une de l'autre : $\quad e^{\ln x} = x$ pour tout $x > 0$ , $\quad \ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif — cela peut invalider certaines solutions apparentes trouvées après un changement de variable $t = e^x$ .

Erreur de signe en dérivant une composée $e^u$ : la dérivée est $u' \times e^u$ , il ne faut pas oublier le facteur $u'$ .

Confondre $e^{a+b} = e^a \times e^b$ (vrai) avec $e^{a+b} = e^a + e^b$ (faux).

Se tromper dans les croissances comparées : en $+\infty$ , l'exponentielle « domine » toute puissance de $x$ , donc $\lim \dfrac{e^x}{x} = +\infty$ et non $0$ .

Exemple corrigé — Équation avec changement de variable

Énoncé

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ .

Correction

On pose $t = e^x$ , avec la contrainte $t > 0$ . L'équation devient $t^2 - 3t + 2 = 0$ .

On factorise : $t^2 - 3t + 2 = (t-1)(t-2)$ , donc $(t-1)(t-2) = 0$ , soit $t = 1$ ou $t = 2$ .

On revient à $x$ : $e^x = 1 \Rightarrow x = 0$ , et $e^x = 2 \Rightarrow x = \ln(2)$ .

Les deux valeurs $t=1$ et $t=2$ sont strictement positives, donc les deux solutions sont valides. $S = \{0, \ln(2)\}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-1} = 1$ .

Voir la correction

Comme $1 = e^0$ , l'équation devient $e^{2x-1} = e^0$ . Par injectivité de l'exponentielle, $2x - 1 = 0$ , donc $x = \dfrac{1}{2}$ . Donc $S = \left\{\dfrac{1}{2}\right\}$ .

Exercice 2

Moyen

Calculer la dérivée de $g(x) = e^{-x^2+1}$ .

Voir la correction

On pose $u(x) = -x^2+1$ , donc $u'(x) = -2x$ . D'après la formule $(e^u)' = u' \times e^u$ , on obtient $g'(x) = -2x \, e^{-x^2+1}$ .

Exercice 3

Changement de variable

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ .

Voir la correction

On pose $t = e^x$ , avec $t > 0$ . L'équation devient $t^2 - 3t + 2 = 0$ , qui se factorise $(t-1)(t-2) = 0$ , donc $t=1$ ou $t=2$ . Comme $t = e^x$ : $e^x = 1$ donne $x = 0$ , et $e^x = 2$ donne $x = \ln(2)$ . Les deux valeurs de $t$ sont strictement positives, donc les deux solutions sont valides. $S = \{0, \ln(2)\}$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Le chapitre Fonctions exponentielles est-il important pour le Bac SMA ?

Oui, c'est un chapitre central de 2ème Bac Sciences Mathématiques A, directement lié aux fonctions logarithmiques et aux équations différentielles qui suivent. L'étude d'une fonction contenant une exponentielle (limites, dérivée, variations) revient très régulièrement dans les sujets d'examen national.

Comment résoudre une équation avec e^x, comme e^(2x) − 3e^x + 2 = 0 ?

La technique classique est le changement de variable t = e^x, avec la contrainte t > 0. L'équation devient une équation du second degré en t, qu'on résout normalement, puis on revient à x en résolvant e^x = t pour chaque solution positive trouvée.

Quel est le lien entre la fonction exponentielle et le logarithme népérien ?

Ce sont deux fonctions réciproques l'une de l'autre : e^(ln x) = x pour tout x > 0, et ln(e^x) = x pour tout x réel. Cette réciprocité permet de passer d'une équation en ln à une équation en exponentielle, et inversement.