Espaces Vectoriels — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Objectifs d'apprentissage

Reconnaître la structure d'espace vectoriel sur ℝ
Vérifier qu'un sous-ensemble est un sous-espace vectoriel (non vide et stable par combinaison linéaire)
Déterminer si une famille de vecteurs est libre ou liée
Reconnaître une famille génératrice d'un espace vectoriel
Identifier une base d'un espace vectoriel et déterminer sa dimension
Rédiger une démonstration de sous-espace vectoriel avec la méthode en deux étapes

Formules et résultats clés

Espace vectoriel

Un espace vectoriel $E$ sur $\mathbb{R}$ est un ensemble muni d'une addition interne et d'une multiplication externe par un réel, vérifiant certains axiomes : $(E,+)$ est un groupe commutatif, et la loi externe est compatible avec $+$ (distributivité, associativité mixte, élément neutre $1$ ).

Sous-espace vectoriel

Un sous-ensemble $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si :

$F$ est non vide (ou : $F$ contient le vecteur nul $\vec{0}$ )
$F$ est stable par combinaison linéaire : $\forall x,y \in F,\ \forall \lambda,\mu \in \mathbb{R},\ \lambda x + \mu y \in F$

Famille libre, famille génératrice, base

Une famille de vecteurs est libre si la seule combinaison linéaire nulle est celle à coefficients tous nuls.

Une famille libre et génératrice de $E$ est une base de $E$ ; le nombre de vecteurs d'une base est la dimension de $E$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier que l'ensemble contient le vecteur nul (ou est non vide) avant de vérifier la stabilité par combinaison linéaire.

Erreur de calcul en développant la combinaison linéaire λx + μy lors de la vérification de la stabilité.

Exemple corrigé — Démontrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel

Énoncé

Montrer que $F = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x+y-z=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Correction

$F$ est non vide car $(0,0,0)$ vérifie $0+0-0=0$ , donc $(0,0,0) \in F$ .

Stabilité : soient $(x,y,z)$ et $(x',y',z')$ dans $F$ (donc $x+y-z=0$ et $x'+y'-z'=0$ ), et $\lambda,\mu \in \mathbb{R}$ . On a $\lambda(x,y,z)+\mu(x',y',z') = (\lambda x+\mu x',\ \lambda y+\mu y',\ \lambda z+\mu z')$ .

On vérifie la condition : $(\lambda x+\mu x') + (\lambda y+\mu y') - (\lambda z+\mu z') = \lambda(x+y-z) + \mu(x'+y'-z') = \lambda \times 0 + \mu \times 0 = 0$ . Cette combinaison appartient donc à $F$ .

$F$ est donc un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Le vecteur $(2,-1,1)$ appartient-il à $F = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x+y-z=0\}$ ?

Voir la correction

On remplace dans la condition : $2 + (-1) - 1 = 0$ . La condition est vérifiée, donc $(2,-1,1) \in F$ .

Exercice 2

Moyen

La famille $(u,v)$ avec $u=(1,2,0)$ et $v=(0,1,1)$ est-elle libre dans $\mathbb{R}^3$ ?

Voir la correction

Soient $\lambda,\mu \in \mathbb{R}$ tels que $\lambda u + \mu v = \vec{0}$ , soit $(\lambda,\ 2\lambda+\mu,\ \mu) = (0,0,0)$ . La première coordonnée donne $\lambda=0$ , la troisième donne $\mu=0$ , et la deuxième est bien cohérente : $2\times0+0=0$ . Donc $\lambda=\mu=0$ : la seule combinaison linéaire nulle est triviale, la famille $(u,v)$ est libre.

Exercice 3

Sous-espace

Montrer que $G = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y=2x\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$ .

Voir la correction

$G$ est non vide car $(0,0)$ vérifie $0=2\times0$ , donc $(0,0)\in G$ . Stabilité : soient $(x,y),(x',y')\in G$ (donc $y=2x$ et $y'=2x'$ ), et $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ . On a $\lambda(x,y)+\mu(x',y') = (\lambda x+\mu x',\ \lambda y+\mu y')$ . Or $\lambda y+\mu y' = \lambda(2x)+\mu(2x') = 2(\lambda x+\mu x')$ , donc ce nouveau vecteur vérifie encore la condition $y=2x$ et appartient à $G$ . $G$ est donc un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$ .

3 exercices, c'est un début.

Orka en génère autant que tu veux sur ce chapitre, à ton niveau, avec correction détaillée étape par étape.

Continue gratuitement sur Orka

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l'IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s'ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d'annales sur ce chapitre

Sujets d'examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Le chapitre Espaces vectoriels est-il important pour le Bac SMA ?

Oui, c'est un chapitre d'algèbre linéaire central de 2ème Bac Sciences Mathématiques A. La démonstration qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel revient très régulièrement dans les sujets d'examen national.

Comment démontrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel ?

La méthode classique se fait en deux étapes : vérifier d'abord que F est non vide (le plus souvent en montrant que le vecteur nul appartient à F), puis vérifier que F est stable par combinaison linéaire, c'est-à-dire que pour tous x, y de F et tous réels λ, μ, le vecteur λx + μy appartient encore à F.

Quelle est la différence entre une famille libre et une famille génératrice ?

Une famille est libre si la seule combinaison linéaire nulle de ses vecteurs est celle à coefficients tous nuls. Une famille est génératrice si tout vecteur de l'espace peut s'écrire comme combinaison linéaire de ses vecteurs. Une base doit être les deux à la fois : libre et génératrice.