Équations Différentielles — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Objectifs d'apprentissage

Reconnaître le type d'une équation différentielle au programme : $y'=ay$ , $y'=ay+b$ ou $y''+\omega^2 y=0$
Connaître et appliquer la solution générale de $y'=ay$
Connaître et appliquer la solution générale de $y'=ay+b$
Connaître et appliquer la solution générale de $y''+\omega^2 y=0$
Déterminer les constantes de la solution générale à l'aide d'une ou plusieurs conditions initiales
Vérifier qu'une fonction proposée est bien solution d'une équation différentielle donnée

Formules et résultats clés

Type 1 : y′ = ay

Pour $a \in \mathbb{R}$ constante, les solutions de $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $\quad y(x) = C \, e^{ax}, \quad C \in \mathbb{R}$ .

Type 2 : y′ = ay + b

Pour $a \neq 0$ , les solutions de $y' = ay + b$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $\quad y(x) = C \, e^{ax} - \dfrac{b}{a}, \quad C \in \mathbb{R}$ . On les obtient en cherchant d'abord la solution particulière constante ( $y_p = -b/a$ ), puis en ajoutant la solution générale de l'équation homogène associée $y'=ay$ .

Type 3 : y″ + ω²y = 0

Pour $\omega > 0$ , les solutions de $y'' + \omega^2 y = 0$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $\quad y(x) = A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x), \quad A, B \in \mathbb{R}$ .

Détermination des constantes

Une équation différentielle admet une infinité de solutions tant qu'aucune information supplémentaire n'est donnée. Une (ou plusieurs) condition initiale — par exemple $y(x_0) = y_0$ , ou en plus $y'(x_0) = y_1$ pour le second ordre — permet de fixer précisément la ou les constantes de la solution générale.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante C (ou les constantes A, B) dans la solution générale — une équation différentielle a une infinité de solutions tant qu'aucune condition initiale n'est donnée.

Ne pas utiliser la condition initiale pour déterminer la ou les constantes, et laisser la réponse en fonction de C.

Confondre le type d'équation : $y'=ay$ donne une exponentielle simple, alors que $y''+\omega^2 y=0$ donne une combinaison de cosinus et sinus — ce ne sont pas les mêmes solutions.

Oublier le terme constant $-b/a$ dans la solution de $y'=ay+b$ : la solution générale n'est pas seulement $C \cdot e^{ax}$ .

Exemple corrigé — Détermination de la constante

Énoncé

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = 3y$ avec la condition initiale $y(0) = 2$ .

Correction

C'est une équation du type $y'=ay$ avec $a=3$ . La solution générale sur $\mathbb{R}$ est $y(x) = C \, e^{3x}$ , où $C \in \mathbb{R}$ .

On utilise la condition initiale $y(0) = 2$ : $y(0) = C \, e^{3 \times 0} = C \, e^0 = C$ . Donc $C = 2$ .

La solution cherchée est donc $y(x) = 2e^{3x}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = -2y$ .

Voir la correction

C'est une équation du type $y'=ay$ avec $a=-2$ . La solution générale est $y(x) = C \, e^{-2x}$ , où $C \in \mathbb{R}$ .

Exercice 2

Moyen

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = 3y$ avec la condition initiale $y(0) = 2$ .

Voir la correction

La solution générale de $y'=3y$ est $y(x) = C \, e^{3x}$ . En utilisant $y(0)=2$ : $C \, e^{0} = C = 2$ . Donc $y(x) = 2e^{3x}$ .

Exercice 3

Second ordre

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y'' + 4y = 0$ .

Voir la correction

C'est une équation du type $y'' + \omega^2 y = 0$ avec $\omega^2 = 4$ , donc $\omega = 2$ . La solution générale est $y(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x)$ , où $A, B \in \mathbb{R}$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Le chapitre Équations différentielles est-il important pour le Bac SMA ?

Oui, c'est un chapitre court mais très rentable de 2ème Bac Sciences Mathématiques A : les trois types d'équations au programme (y'=ay, y'=ay+b, y''+ω²y=0) suivent des méthodes de résolution fixes, ce qui en fait un exercice à points quasi garantis si les formules sont maîtrisées.

Comment déterminer la constante C dans la solution d'une équation différentielle ?

On utilise la condition initiale donnée dans l'énoncé, en général une valeur y(x₀) connue. On remplace x par x₀ et y(x) par la valeur donnée dans la solution générale, puis on résout l'équation obtenue pour trouver C (ou A et B pour une équation du second ordre).

Quelle est la différence entre y'=ay et y''+ω²y=0 ?

y'=ay est une équation du premier ordre dont les solutions sont des exponentielles de la forme C·e^(ax). y''+ω²y=0 est une équation du second ordre (elle fait intervenir la dérivée seconde) dont les solutions sont des combinaisons de cosinus et sinus, de la forme A·cos(ωx)+B·sin(ωx) — elle modélise typiquement un mouvement oscillatoire.