Dérivation et Étude des Fonctions — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Q: Une dérivée nulle en un point suffit-elle pour un extremum local ?

Non. f'(x0) = 0 est une condition nécessaire mais pas suffisante : il faut en plus que f' change de signe de part et d'autre de x0. Contre-exemple classique : pour f(x) = x³, f'(0) = 0 mais f' ne change pas de signe en 0 (elle reste positive de chaque côté), donc il n'y a pas d'extremum en 0.

Q: Quelle est la différence entre asymptote horizontale et asymptote verticale ?

Une asymptote est horizontale (y = L) quand f(x) tend vers une limite finie L lorsque x tend vers +∞ ou −∞. Une asymptote est verticale (x = a) quand f(x) tend vers +∞ ou −∞ lorsque x tend vers une valeur finie a.

Objectifs d'apprentissage

Calculer la dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient et d'une fonction composée
Étudier le signe de f' pour déterminer le sens de variation de f
Dresser le tableau de variations complet d'une fonction
Déterminer les extremums locaux d'une fonction en justifiant le changement de signe de f'
Étudier les branches infinies et déterminer les asymptotes horizontales et verticales
Utiliser la dérivée pour résoudre des problèmes d'optimisation

Formules et résultats clés

Formules de dérivation

$(u+v)' = u' + v' \qquad (uv)' = u'v + uv' \qquad \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2} \qquad (u \circ v)' = v' \times (u' \circ v)$

Signe de f' et sens de variation

$f' > 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ strictement croissante sur $I$ $\qquad$ $f' < 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ strictement décroissante sur $I$ $\qquad$ $f' = 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ constante sur $I$

Extremum local

$f$ admet un extremum local en $x_0$ si et seulement si $f'(x_0) = 0$ et $f'$ change de signe de part et d'autre de $x_0$ . La condition $f'(x_0) = 0$ seule ne suffit pas.

Branches infinies et asymptotes

Asymptote horizontale $y = L$ : si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ (limite finie). Asymptote verticale $x = a$ : si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de dérivabilité de f avant de calculer f' — une fonction peut être définie en un point sans y être dérivable.

Croire que f'(x0) = 0 suffit à garantir un extremum local : il faut en plus que f' change de signe de part et d'autre de x0.

Erreur de signe en dressant le tableau de variations — toujours factoriser f'(x) avant d'étudier son signe plutôt que de le laisser sous forme développée.

Oublier la formule du quotient (u/v)' = (u'v − uv')/v² et appliquer par erreur celle du produit.

Exemple corrigé — Étude complète et extremums

Énoncé

Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x + 2$ sur $\mathbb{R}$ et déterminer ses extremums locaux.

Correction

$f$ est un polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$ . $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ .

Signe de $f'$ : sur $]-\infty,-1[$ , $f' > 0$ ; sur $]-1,1[$ , $f' < 0$ ; sur $]1,+\infty[$ , $f' > 0$ .

Donc $f$ est croissante sur $]-\infty,-1]$ , décroissante sur $[-1,1]$ , puis croissante sur $[1,+\infty[$ .

Comme $f'$ passe de positif à négatif en $x=-1$ , $f$ admet un maximum local en $x=-1$ : $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1+3+2 = 4$ .

Comme $f'$ passe de négatif à positif en $x=1$ , $f$ admet un minimum local en $x=1$ : $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Calculer la dérivée de $g(x) = (x^2+1)(3x-2)$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la correction

On pose $u = x^2+1$ , $u' = 2x$ et $v = 3x-2$ , $v' = 3$ . D'après la formule du produit : $g'(x) = u'v + uv' = 2x(3x-2) + (x^2+1)(3) = 6x^2 - 4x + 3x^2 + 3 = 9x^2 - 4x + 3$ .

Exercice 2

Moyen

Calculer la dérivée de $h(x) = \dfrac{2x-1}{x+1}$ sur son domaine de définition.

Voir la correction

$h$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ . On pose $u = 2x-1$ , $u'=2$ et $v = x+1$ , $v'=1$ . D'après la formule du quotient : $h'(x) = \dfrac{u'v-uv'}{v^2} = \dfrac{2(x+1) - (2x-1)(1)}{(x+1)^2} = \dfrac{2x+2-2x+1}{(x+1)^2} = \dfrac{3}{(x+1)^2}$ .

Exercice 3

Étude complète

Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ sur $\mathbb{R}$ et déterminer ses extremums locaux.

Voir la correction

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$ . Signe de $f'$ : positif sur $]-\infty,0[$ , négatif sur $]0,2[$ , positif sur $]2,+\infty[$ . Donc $f$ est croissante sur $]-\infty,0]$ , décroissante sur $[0,2]$ , croissante sur $[2,+\infty[$ . Maximum local en $x=0$ : $f(0) = 2$ . Minimum local en $x=2$ : $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle ?

On étudie le signe de la dérivée f' sur cet intervalle : si f' > 0, f est strictement croissante ; si f' < 0, f est strictement décroissante ; si f' = 0, f est constante. Il faut d'abord calculer puis factoriser f' avant d'en étudier le signe.

Une dérivée nulle en un point suffit-elle pour un extremum local ?

Non. f'(x0) = 0 est une condition nécessaire mais pas suffisante : il faut en plus que f' change de signe de part et d'autre de x0. Contre-exemple classique : pour f(x) = x³, f'(0) = 0 mais f' ne change pas de signe en 0 (elle reste positive de chaque côté), donc il n'y a pas d'extremum en 0.

Quelle est la différence entre asymptote horizontale et asymptote verticale ?

Une asymptote est horizontale (y = L) quand f(x) tend vers une limite finie L lorsque x tend vers +∞ ou −∞. Une asymptote est verticale (x = a) quand f(x) tend vers +∞ ou −∞ lorsque x tend vers une valeur finie a.