Dénombrement et Probabilités — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Objectifs d'apprentissage

Appliquer le principe multiplicatif pour dénombrer les issues d'une expérience
Calculer un nombre de permutations (n!) d'un ensemble à n éléments
Distinguer arrangement (l'ordre compte) et combinaison (l'ordre ne compte pas) selon la situation
Calculer un nombre d'arrangements A(n,p) et un nombre de combinaisons C(n,p)
Calculer la probabilité d'un événement dans une situation d'équiprobabilité
Calculer une probabilité conditionnelle et déterminer si deux événements sont indépendants

Formules et résultats clés

Principe multiplicatif et permutations

Si une expérience se décompose en $k$ étapes successives offrant respectivement $n_1, n_2, \dots, n_k$ possibilités, le nombre total d'issues est $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$ (principe multiplicatif). Le nombre de façons d'ordonner $n$ éléments distincts (permutations) est $n! = n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1$ .

Arrangements et combinaisons

$A(n,p) = \dfrac{n!}{(n-p)!} \qquad C(n,p) = \dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}$

Un arrangement compte les façons de choisir p éléments parmi n en tenant compte de l'ordre ; une combinaisoncompte les mêmes choix sans tenir compte de l'ordre.

Probabilité en situation d'équiprobabilité

$P(A) = \dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ pour un univers $\Omega$ fini muni de l'équiprobabilité

Probabilité conditionnelle et indépendance

$P(A|B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ (pour $P(B) \neq 0$ ). $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B) = P(A)\times P(B)$ .

Erreurs fréquentes

Confondre arrangement (l'ordre compte) et combinaison (l'ordre ne compte pas) selon la situation décrite dans l'énoncé.

Oublier de vérifier que la situation est bien équiprobable avant d'utiliser la formule P(A) = card(A) / card(Ω).

Erreur de calcul dans les factorielles ou les coefficients binomiaux (arrangements, combinaisons).

Exemple corrigé — Probabilité dans une situation d'équiprobabilité

Énoncé

Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules noires (indiscernables au toucher). On tire simultanément $2$ boules. Quelle est la probabilité de tirer $2$ boules rouges ?

Correction

Le nombre total de tirages possibles de $2$ boules parmi $8$ est $C(8,2) = \dfrac{8!}{2!\times6!} = 28$ .

Le nombre de tirages de $2$ boules rouges parmi les $5$ rouges est $C(5,2) = \dfrac{5!}{2!\times3!} = 10$ .

La probabilité recherchée est donc $P = \dfrac{C(5,2)}{C(8,2)} = \dfrac{10}{28} = \dfrac{5}{14}$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

De combien de façons peut-on ranger $4$ livres différents sur une étagère ?

Voir la correction

Il s'agit d'une permutation de $4$ éléments distincts : $4! = 4\times3\times2\times1 = 24$ façons.

Exercice 2

Moyen

Un groupe de $6$ amis veut élire un président et un secrétaire (deux postes différents) parmi eux. Combien de choix sont possibles ?

Voir la correction

Comme les deux postes sont différents, l'ordre compte : c'est un arrangement. $A(6,2) = \dfrac{6!}{(6-2)!} = 6\times5 = 30$ choix possibles.

Exercice 3

Probabilité

Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules noires. On tire simultanément $3$ boules. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement $2$ boules rouges et $1$ boule noire ?

Voir la correction

Le nombre total de tirages de $3$ boules parmi $8$ est $C(8,3) = \dfrac{8!}{3!\,5!} = 56$ . Le nombre de tirages avec exactement $2$ boules rouges (parmi les $5$ ) et $1$ boule noire (parmi les $3$ ) est $C(5,2)\times C(3,1) = 10\times3 = 30$ . La probabilité recherchée est $P = \dfrac{30}{56} = \dfrac{15}{28}$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Le chapitre Dénombrement et probabilités est-il important pour le Bac SMA ?

Oui, c'est l'un des grands chapitres du programme de 2ème Bac Sciences Mathématiques A et il donne lieu à des exercices concrets (tirages, urnes, comités) très fréquents à l'examen national, souvent combinés avec la probabilité conditionnelle.

Comment savoir s'il faut utiliser un arrangement ou une combinaison ?

Il faut se demander si l'ordre dans lequel les éléments sont choisis a une importance dans la situation. Si oui (par exemple attribuer des postes différents, un classement), c'est un arrangement. Si l'ordre n'a pas d'importance (par exemple choisir un groupe, un comité, un tirage simultané), c'est une combinaison.

Qu'est-ce que la probabilité conditionnelle et quand l'utiliser ?

La probabilité conditionnelle P(A|B) mesure la probabilité que A se réalise sachant que B est déjà réalisé. Elle sert notamment lorsqu'un tirage se fait en plusieurs étapes (par exemple sans remise), où le résultat d'une étape influence les probabilités de la suivante.