Arithmétique dans ℤ — Cours, Formules, Exercices (Bac SMA)

Q: Le chapitre Arithmétique dans ℤ est-il important pour le Bac SMA ?

Oui, c'est un chapitre spécifique à la filière Sciences Mathématiques et régulièrement présent aux examens. Il exige de la rigueur dans la rédaction (division euclidienne, Bézout, Gauss) et donne souvent lieu à des exercices de synthèse combinant plusieurs résultats du chapitre.

Q: Quelle est la différence entre le PGCD et le PPCM de deux entiers ?

Le PGCD (plus grand commun diviseur) est le plus grand entier qui divise à la fois les deux nombres. Le PPCM (plus petit commun multiple) est le plus petit entier positif qui est multiple des deux nombres. Ce sont deux notions différentes qui se calculent différemment — ne pas les confondre est essentiel en arithmétique.

Q: Quand peut-on appliquer le théorème de Gauss ?

Le théorème de Gauss (si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c) ne s'applique que si l'hypothèse « a et b premiers entre eux » est vérifiée au préalable, en général en montrant que PGCD(a,b) = 1. L'appliquer sans cette vérification est une erreur fréquente et invalide le raisonnement.

Objectifs d'apprentissage

Effectuer la division euclidienne de deux entiers et déterminer le quotient et le reste
Calculer le PGCD de deux entiers grâce à l'algorithme d'Euclide
Utiliser le théorème de Bézout pour trouver des entiers u, v tels que au + bv = PGCD(a,b)
Reconnaître deux entiers premiers entre eux (PGCD égal à 1)
Appliquer le théorème de Gauss en vérifiant bien ses hypothèses
Résoudre des problèmes de divisibilité combinant PGCD, Bézout et Gauss

Formules et résultats clés

Division euclidienne

Pour tout $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$ , il existe un unique couple $(q, r) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ tel que $a = bq + r$ avec $0 \le r < |b|$ .

PGCD et algorithme d'Euclide

Le PGCD de deux entiers a et b (non tous deux nuls) est le plus grand entier qui divise à la fois a et b. On le calcule par divisions euclidiennes successives : le PGCD est le dernier reste non nulde l'algorithme.

Théorème de Bézout

$\text{PGCD}(a,b) = d \iff \exists\, u, v \in \mathbb{Z} \text{ tels que } au + bv = d$

Deux entiers a et b sont dits premiers entre eux si $\text{PGCD}(a,b) = 1$ .

Théorème de Gauss

Si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c.

Erreurs fréquentes

Erreur de calcul dans une division euclidienne : mal choisir le quotient et obtenir un reste qui ne vérifie pas 0 ≤ r < |b|.

Confondre PGCD (plus grand commun diviseur) et PPCM (plus petit commun multiple) — ce sont deux notions différentes.

Appliquer le théorème de Gauss sans avoir vérifié au préalable l'hypothèse que les deux nombres concernés sont premiers entre eux.

Exemple corrigé — Calcul de PGCD par l'algorithme d'Euclide

Énoncé

Calculer $\text{PGCD}(48, 18)$ à l'aide de l'algorithme d'Euclide.

Correction

$48 = 2 \times 18 + 12$ (reste $12$ ).

$18 = 1 \times 12 + 6$ (reste $6$ ).

$12 = 2 \times 6 + 0$ (reste $0$ ).

Le dernier reste non nul est $6$ , donc $\text{PGCD}(48,18) = 6$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $157$ par $12$ .

Voir la correction

On a $157 = 12 \times 13 + 1$ , avec $0 \le 1 < 12$ . Le quotient est $q = 13$ et le reste est $r = 1$ .

Exercice 2

Moyen

Calculer $\text{PGCD}(84, 36)$ à l'aide de l'algorithme d'Euclide.

Voir la correction

$84 = 2 \times 36 + 12$ (reste $12$ ). $36 = 3 \times 12 + 0$ (reste $0$ ). Le dernier reste non nul est $12$ , donc $\text{PGCD}(84,36) = 12$ .

Exercice 3

Bézout

Montrer que $15$ et $4$ sont premiers entre eux, puis trouver un couple d'entiers $(u,v)$ tel que $15u + 4v = 1$ .

Voir la correction

Algorithme d'Euclide : $15 = 3\times4+3$ , $4 = 1\times3+1$ , $3 = 3\times1+0$ . Le dernier reste non nul est $1$ , donc $\text{PGCD}(15,4)=1$ : les deux nombres sont premiers entre eux. En remontant les calculs : $1 = 4 - 1\times3$ et $3 = 15 - 3\times4$ , donc $1 = 4 - 1\times(15-3\times4) = 4\times4 - 15$ . On obtient $15\times(-1) + 4\times4 = 1$ , soit $u=-1$ et $v=4$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Le chapitre Arithmétique dans ℤ est-il important pour le Bac SMA ?

Oui, c'est un chapitre spécifique à la filière Sciences Mathématiques et régulièrement présent aux examens. Il exige de la rigueur dans la rédaction (division euclidienne, Bézout, Gauss) et donne souvent lieu à des exercices de synthèse combinant plusieurs résultats du chapitre.

Quelle est la différence entre le PGCD et le PPCM de deux entiers ?

Le PGCD (plus grand commun diviseur) est le plus grand entier qui divise à la fois les deux nombres. Le PPCM (plus petit commun multiple) est le plus petit entier positif qui est multiple des deux nombres. Ce sont deux notions différentes qui se calculent différemment — ne pas les confondre est essentiel en arithmétique.

Quand peut-on appliquer le théorème de Gauss ?

Le théorème de Gauss (si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c) ne s'applique que si l'hypothèse « a et b premiers entre eux » est vérifiée au préalable, en général en montrant que PGCD(a,b) = 1. L'appliquer sans cette vérification est une erreur fréquente et invalide le raisonnement.