Suites Arithmétiques et Géométriques — Cours, Exercices

Objectifs d'apprentissage

Reconnaître une suite arithmétique et calculer sa raison
Reconnaître une suite géométrique et calculer sa raison
Exprimer le terme général d'une suite arithmétique ou géométrique en fonction de n
Calculer la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique
Calculer la somme des n premiers termes d'une suite géométrique

Formules et résultats clés

Suite arithmétique

Raison $r = u_{n+1} - u_n$ (constante). Terme général et somme des $n$ premiers termes ( $u_0$ à $u_{n-1}$ ) :

$u_n = u_0 + nr \qquad S = n \times \dfrac{u_0+u_{n-1}}{2}$

Suite géométrique

Raison $q = u_{n+1} / u_n$ (constante, avec $u_n \neq 0$ ). Terme général et somme des $n$ premiers termes ( $u_0$ à $u_{n-1}$ , pour $q \neq 1$ ) :

$u_n = u_0 \times q^n \qquad S = u_0 \times \dfrac{1-q^n}{1-q}$

Erreurs fréquentes

Confondre la raison arithmétique (une différence, obtenue par soustraction) et la raison géométrique (un rapport, obtenu par division).

Erreur d'indexation : ne pas savoir si la suite commence à u_0 ou à u_1, ce qui décale toutes les formules.

Oublier la condition q ≠ 1 pour utiliser la formule de somme d'une suite géométrique.

Erreur de calcul dans une puissance (q^n) lors du calcul d'un terme ou d'une somme géométrique.

Exemple corrigé

Énoncé

Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0=5$ et raison $r=3$ . Calculer $u_{10}$ et la somme des 11 premiers termes (de $u_0$ à $u_{10}$ ).

Correction

$u_{10} = u_0 + 10r = 5 + 10 \times 3 = 35$ .

$S = 11 \times \dfrac{u_0+u_{10}}{2} = 11 \times \dfrac{5+35}{2} = 11 \times 20 = 220$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Une suite géométrique a pour premier terme $u_0=2$ et raison $q=3$ . Calculer $u_4$ .

Voir la correction

$u_4 = u_0 \times q^4 = 2 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162$ .

Exercice 2

Moyen

Une suite arithmétique vérifie $u_3=11$ et $u_7=23$ . Déterminer sa raison $r$ et son premier terme $u_0$ .

Voir la correction

$u_7 - u_3 = 4r = 23-11=12$ , donc $r=3$ . Puis $u_3 = u_0+3r=11$ , donc $u_0=11-9=2$ .

Exercice 3

Somme

Calculer la somme des 6 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $u_0=1$ et raison $q=2$ .

Voir la correction

$S = u_0 \times \dfrac{1-q^6}{1-q} = 1 \times \dfrac{1-64}{1-2} = \dfrac{-63}{-1} = 63$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Comment reconnaître une suite arithmétique ?

Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante : u_{n+1} − u_n = r pour tout n, où r est la raison. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même valeur.

Comment reconnaître une suite géométrique ?

Une suite est géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant : u_{n+1} / u_n = q pour tout n, où q est la raison. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par la même valeur.

Quelle formule utiliser pour calculer la somme d'une suite géométrique ?

Pour une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q ≠ 1, la somme des n premiers termes (de u_0 à u_{n-1}) est S = u_0 × (1 − q^n) / (1 − q). Si q = 1, tous les termes sont égaux à u_0 et la somme vaut simplement n × u_0.