Statistiques et Probabilités — Cours, Exercices

Objectifs d'apprentissage

Calculer la moyenne d'une série statistique
Calculer la variance et l'écart-type d'une série statistique
Utiliser le principe multiplicatif pour dénombrer des situations simples
Calculer une probabilité dans le cas d'équiprobabilité

Formules et résultats clés

Paramètres statistiques

Pour une série de valeurs $x_i$ d'effectifs $n_i$ et d'effectif total $N = \sum n_i$ :

$\bar{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N} \qquad V = \dfrac{\sum n_i (x_i-\bar{x})^2}{N} \qquad \sigma = \sqrt{V}$

Probabilité (équiprobabilité)

Si tous les résultats d'une expérience ont la même chance de se produire : $P(A) = \dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$

Erreurs fréquentes

Confondre variance et écart-type — l'écart-type est la racine carrée de la variance, pas la variance elle-même.

Oublier de diviser par l'effectif total N lors du calcul de la moyenne ou de la variance.

Oublier de vérifier que la situation est bien équiprobable avant d'utiliser card(A)/card(Ω).

Erreur de calcul en développant la somme des écarts au carré pour la variance.

Exemple corrigé

Énoncé

Une série statistique a pour valeurs $x_i$ : 2, 4, 6 avec effectifs respectifs $n_i$ : 1, 2, 1 (effectif total $N=4$ ). Calculer la moyenne de cette série.

Correction

$\bar{x} = \dfrac{1\times 2 + 2\times 4 + 1\times 6}{4} = \dfrac{2+8+6}{4} = \dfrac{16}{4} = 4$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Une classe de 30 élèves compte 18 filles. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

Voir la correction

Il y a équiprobabilité (chaque élève a la même chance d'être choisi). $P = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$ .

Exercice 2

Moyen

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?

Voir la correction

$P = \dfrac{4}{4+6} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$ .

Exercice 3

Statistiques

Une série statistique a pour valeurs 3, 5, 5, 7 (chaque valeur a un effectif de 1). Calculer la moyenne et la variance.

Voir la correction

Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{3+5+5+7}{4} = \dfrac{20}{4} = 5$ . Variance : $V = \dfrac{(3-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2}{4} = \dfrac{4+0+0+4}{4} = 2$ . L'écart-type est $\sigma = \sqrt{2}$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre variance et écart-type ?

La variance mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne, mais dans l'unité au carré. L'écart-type est la racine carrée de la variance : il revient dans la même unité que les données d'origine, ce qui le rend plus facile à interpréter concrètement.

Comment calculer une probabilité dans le cas d'équiprobabilité ?

Si tous les résultats possibles d'une expérience ont la même chance de se produire, la probabilité d'un événement A est P(A) = card(A) / card(Ω), où card(A) est le nombre de cas favorables et card(Ω) le nombre total de résultats possibles.

Comment calculer la moyenne d'une série statistique ?

La moyenne est la somme de chaque valeur multipliée par son effectif, divisée par l'effectif total : x̄ = Σ(n_i × x_i) / N, où N est la somme de tous les effectifs.