Équations du Second Degré — Cours, Formules, Exercices

Q: Comment résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues ?

Deux méthodes courantes : la substitution (exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis remplacer dans l'autre équation) ou la combinaison linéaire (multiplier les équations pour éliminer une inconnue en les additionnant ou en les soustrayant).

Objectifs d'apprentissage

Calculer le discriminant d'une équation du second degré et déterminer le nombre de solutions
Résoudre une équation du second degré à coefficients réels
Étudier le signe d'un trinôme du second degré
Résoudre une inéquation du second degré
Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues

Formules et résultats clés

Le discriminant

Pour l'équation $ax^2+bx+c=0$ (avec $a \neq 0$ ), on calcule $\Delta = b^2-4ac$ :

$\Delta > 0$ : deux solutions $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

$\Delta = 0$ : une solution double $x = \dfrac{-b}{2a}$

$\Delta < 0$ : aucune solution réelle

Signe du trinôme

Si $\Delta>0$ , le trinôme a le signe de $a$ à l'extérieur des racines, et le signe opposé à $a$ entre les deux racines. Si $\Delta \le 0$ , le trinôme garde le signe de $a$ sur tout $\mathbb{R}$ (il s'annule en la racine double si $\Delta=0$ ).

Erreurs fréquentes

Erreur de signe dans le calcul du discriminant Δ = b² − 4ac.

Oublier le cas Δ = 0, qui donne une racine double et non deux racines distinctes.

Se tromper de signe en étudiant le signe du trinôme entre les racines (c'est le signe opposé à a, pas celui de a).

Erreur de calcul en substituant une inconnue dans la deuxième équation d'un système.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre l'équation $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Correction

$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0$ .

Les solutions sont $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \dfrac{5 \pm 1}{2}$ , soit $x = 3$ ou $x = 2$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Résoudre l'équation $2x^2 - 3x - 2 = 0$ .

Voir la correction

$\Delta = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 > 0$ . Les solutions sont $x = \dfrac{3 \pm 5}{4}$ , soit $x = 2$ ou $x = -\dfrac{1}{2}$ .

Exercice 2

Moyen

Étudier le signe de $f(x) = -x^2 + 4x - 3$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la correction

$\Delta = 4^2 - 4(-1)(-3) = 16 - 12 = 4 > 0$ . Les racines sont $x = \dfrac{-4 \pm 2}{-2}$ , soit $x=1$ et $x=3$ . Comme $a=-1<0$ : $f(x)<0$ pour $x \in \,]-\infty,1[\,\cup\,]3,+\infty[$ , et $f(x)>0$ pour $x \in \,]1,3[$ .

Exercice 3

Système

Résoudre le système $\begin{cases} 2x+y=5 \\ x-y=1 \end{cases}$ .

Voir la correction

De la deuxième équation : $x = 1+y$ . En substituant dans la première : $2(1+y)+y=5$ , soit $2+3y=5$ , donc $y=1$ et $x=2$ . La solution est $(2,1)$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Comment savoir si une équation du second degré a des solutions réelles ?

On calcule le discriminant Δ=b²-4ac. Si Δ>0, il y a deux solutions réelles distinctes. Si Δ=0, il y a une solution réelle double. Si Δ<0, il n'y a pas de solution réelle.

Quel est le signe d'un trinôme du second degré ?

Si Δ>0, le trinôme a le signe de a à l'extérieur des racines, et le signe opposé à a entre les deux racines. Si Δ=0, le trinôme a le signe de a partout (sauf en la racine double où il s'annule). Si Δ<0, le trinôme a le signe de a sur tout ℝ.

Comment résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues ?

Deux méthodes courantes : la substitution (exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis remplacer dans l'autre équation) ou la combinaison linéaire (multiplier les équations pour éliminer une inconnue en les additionnant ou en les soustrayant).