Objectifs d'apprentissage
- Identifier les quatre composantes d'une série temporelle : tendance, saisonnalité, cycle, résidu
- Distinguer modèle additif et modèle multiplicatif de décomposition d'une série
- Calculer une moyenne mobile pour dégager la tendance d'une série
- Calculer un coefficient saisonnier dans un modèle multiplicatif
- Désaisonnaliser une valeur observée (donnée CVS) à partir de son coefficient saisonnier
- Justifier pourquoi comparer des données brutes de périodes différentes peut être trompeur
Formules et résultats clés
Les composantes d'une série temporelle
Une série temporelle (ou chronologique) est une suite d'observations d'une grandeur dans le temps. Elle se décompose en quatre composantes : la tendance T (mouvement de fond, de long terme), la composante saisonnière S (fluctuations périodiques régulières liées au calendrier), la composante cyclique C (fluctuations liées aux cycles économiques) et le résidu R (aléas imprévisibles).
La moyenne mobile
La moyenne mobile lisse une série en remplaçant chaque valeur par la moyenne des valeurs environnantes, sur un nombre de périodes adapté à la périodicité des données (ordre 4 pour des données trimestrielles, ordre 12 pour des données mensuelles), afin de dégager la tendance en atténuant la saisonnalité et les aléas.
Le coefficient saisonnier et la désaisonnalisation
Diviser chaque valeur observée par son coefficient saisonnier permet d'obtenir une valeur corrigée des variations saisonnières (CVS), comparable d'une période à l'autre.
Erreurs fréquentes
Confondre composante saisonnière (fluctuations périodiques et régulières, liées au calendrier, comme les ventes de glaces en été) et composante cyclique (fluctuations liées aux cycles économiques, de périodicité plus longue et irrégulière).
Confondre modèle additif (les composantes s'additionnent : Y = T + S + R) et modèle multiplicatif (les composantes se multiplient : Y = T × S × R) : le choix du modèle détermine la façon de calculer les coefficients saisonniers.
Croire qu'une moyenne mobile élimine toutes les variations d'une série : elle lisse uniquement les fluctuations de courte période (saisonnalité, aléas) pour dégager la tendance, mais ne supprime pas les mouvements de plus longue durée.
Oublier d'adapter l'ordre de la moyenne mobile à la périodicité des données (ordre 4 pour des données trimestrielles, ordre 12 pour des données mensuelles) : un mauvais ordre ne permet pas d'éliminer correctement la composante saisonnière.
Comparer des données brutes de périodes différentes sans tenir compte de la saisonnalité (par exemple les ventes de décembre et de février) : il faut comparer soit des données désaisonnalisées (CVS), soit les mêmes périodes d'une année sur l'autre.
Exemple corrigé — Calculer une moyenne mobile et un coefficient saisonnier
Énoncé
Les ventes trimestrielles d'une entreprise sont : T1 = 90, T2 = 110, T3 = 130 (en milliers de dirhams). a) Calculer la moyenne mobile d'ordre 3 centrée sur T2. b) Sachant que la valeur observée de T2 est 110 et que la moyenne mobile calculée représente la tendance, calculer le coefficient saisonnier de T2 (modèle multiplicatif).
Correction
a) Moyenne mobile centrée sur T2 = (T1 + T2 + T3) / 3 = (90 + 110 + 130) / 3 = 330 / 3 = 110.
b) Coefficient saisonnier de T2 = Valeur observée / Valeur de la tendance = 110 / 110 = 1. Un coefficient égal à 1 signifie que ce trimestre ne présente, ici, aucun effet saisonnier particulier : sa valeur observée coïncide avec la tendance de fond.
3 exercices pour t'entraîner
Exercice 1
FacileCiter les quatre composantes théoriques d'une série temporelle et donner un exemple concret de composante saisonnière.
Voir la correction
Les quatre composantes sont : la tendance (mouvement de fond de long terme), la composante saisonnière (fluctuations périodiques régulières liées au calendrier), la composante cyclique (fluctuations liées aux cycles économiques, de périodicité plus longue) et la composante résiduelle ou accidentelle (aléas imprévisibles). Exemple de composante saisonnière : la hausse récurrente des ventes de glaces chaque été, ou celle des ventes de jouets chaque fin d'année.
Exercice 2
MoyenLes ventes mensuelles d'une entreprise sont de 100 en janvier, 120 en février et 140 en mars. Calculer la moyenne mobile d'ordre 3 centrée sur février.
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Moyenne mobile d'ordre 3 centrée sur février = (Janvier + Février + Mars) / 3 = (100 + 120 + 140) / 3 = 360 / 3 = 120. Cette moyenne mobile lisse la valeur de février en tenant compte du mois précédent et du mois suivant, ce qui atténue les variations de court terme.
Exercice 3
DifficilePour un trimestre donné, la valeur observée des ventes est de 195 000 dirhams et la valeur de la tendance (obtenue par moyenne mobile) est de 150 000 dirhams pour ce même trimestre. a) Calculer le coefficient saisonnier de ce trimestre selon un modèle multiplicatif. b) Si, un autre trimestre, la valeur observée est de 210 000 dirhams avec ce même coefficient saisonnier, calculer la valeur désaisonnalisée (CVS) de ce trimestre.
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a) Coefficient saisonnier = Valeur observée / Valeur de la tendance = 195 000 / 150 000 = 1,3. Ce trimestre affiche donc, en moyenne, des ventes 30 % supérieures à la tendance de fond, du fait de la saisonnalité. b) Valeur désaisonnalisée (CVS) = Valeur observée / Coefficient saisonnier = 210 000 / 1,3 ≈ 161 538 dirhams. Cette valeur CVS représente ce qu'auraient été les ventes de ce trimestre en l'absence d'effet saisonnier, ce qui permet de la comparer valablement aux autres trimestres de l'année.
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Questions fréquentes
Quelles sont les composantes d'une série temporelle ?
Une série temporelle se décompose généralement en quatre composantes : la tendance (mouvement de fond de long terme), la composante saisonnière (fluctuations périodiques et régulières liées au calendrier), la composante cyclique (fluctuations liées aux cycles économiques, de périodicité plus longue et irrégulière) et la composante résiduelle ou accidentelle (aléas imprévisibles).
À quoi sert une moyenne mobile ?
Une moyenne mobile est une technique de lissage qui remplace chaque valeur observée par la moyenne des valeurs environnantes, sur un nombre de périodes égal en général à la périodicité de la série (ordre 4 pour des données trimestrielles, ordre 12 pour des données mensuelles). Elle permet d'atténuer les fluctuations saisonnières et les aléas afin de dégager la tendance de fond de la série.
Qu'est-ce que la désaisonnalisation (données CVS) ?
La désaisonnalisation consiste à retirer la composante saisonnière d'une série chronologique afin d'obtenir des données corrigées des variations saisonnières (CVS), comparables d'une période à l'autre. Dans un modèle multiplicatif, on calcule un coefficient saisonnier pour chaque période puis on divise la valeur observée par ce coefficient pour obtenir la valeur désaisonnalisée.